[論文レビュー] The p-adic analytic subgroup theorem and applications

Tzanko Matev|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、Wüstholzの解析的部分群定理のp進版を確立し、代数的点のp進対数がLie代数の有理部分空間にあるならば、その点はその部分空間に含まれるLie代数をもつ代数的部分群上にあることを証明する。主な応用として、Mordell-Weil階数1の genus ≥2 の曲線がそのヤコビアンに埋め込まれている場合、有理点のp進閉包が曲線と横断的に入れ替わることを示し、階数1の場合のChabauty法の理論的根拠を提供する。

ABSTRACT

We prove a p-adic analogue of Wüstholz's analytic subgroup theorem. We apply this result to show that a curve embedded in its Jacobian intersects the p-adic closure of the Mordell-Weil group transversely whenever the latter has rank equal to 1. This allows us to give some theoretical justification to Chabauty techniques applied to finding rational points on curves whose Jacobian has Mordel-Weil group of rank 1.

研究の動機と目的

• 数体上の可換代数的群に対して、Wüstholzの解析的部分群定理のp進類似を確立すること。
• この定理を、Chabauty法による代数的曲線上の有理点の特定問題に応用すること。
• Mordell-Weil階数が1の場合に、Chabauty型アルゴリズムの停止性を理論的に正当化すること。
• p進対数的独立性の文脈において、単純だが絶対的に単純でないアーベル多様体の場合を解消すること。
• Mordell-Weil群の階数が1である曲線の有理点が、その有理点群のp進閉包と孤立した交わりを示すこと。

提案手法

• 複素解析的証明をp進設定に適応し、指数写像の代わりに対数写像を用い、複素解析的推定に代えてp進推定を用いる。
• 代数的点で高次の零点を持つ層の切断を構成し、p進設定における多重度推定を用いて矛盾を導く。
• 点の冪が単位元に集積する点に対して定義されたp進対数写像を用い、p進設定においても全体的に定義可能であることを保証する。
• p進正則関数に関するMahlerの定理を応用し、整数点における特定の関数のp進サイズを評価し、p進付値の上界を導出する。
• Liouvilleの不等式を用いて、補助多項式の非零値のp進サイズの下界を導出する。
• 点の冪における関数のp進ノルムの上界と下界を組み合わせ、点がねじれでない限り矛盾が生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可換代数的群に対して、Wüstholzの解析的部分群定理のp進類似は成立するか？
• RQ2 このp進定理を用いて、曲線とそのMordell-Weil群のp進閉包の交わりの横断性を正当化できるか？
• RQ3 p進対数的独立性を適用する際、単純だが絶対的に単純でないアーベル多様体の場合にはどうなるか？
• RQ4 従来の仮定よりも弱い条件下でも、Chabauty型アルゴリズムの停止性を保証できるか？
• RQ5 Mordell-Weil階数が1の場合、曲線のp進完備化とその有理点群のp進閉包の交わりは横断的か？

主な発見

• p進解析的部分群定理が成立する：代数的点の対数がLie代数の有理部分空間にあるならば、その点はその部分空間に含まれるLie代数をもつ代数的部分群上にある。
• Q 上の曲線 C がそのヤコビアン J に埋め込まれ、J が単純かつMordell-Weil階数が1であるとき、C は J(Q) のp進閉包と、すべての有理点で横断的に交わる。
• 曲線上の各有理点は、p進近傍において、J(Q) のp進閉包との交わりが1点に限られる。
• Stollの主予想だけを仮定すれば、階数1の曲線に対する修正Chabautyアルゴリズムは停止することが保証される。
• 証明により、非ねじれ点が1次元p進Lie部分空間に含まれるならば、それはねじれ部分群を生成する必要があることが示され、補助関数の議論で矛盾が生じる。
• p進多重度推定と補助多項式の高さの上限が、非ねじれ点が対数的条件を満たすと仮定した場合に矛盾を引き起こし、これが主定理の証明に繋がる。