[논문 리뷰] The $p$-adic Jacquet-Langlands correspondence and a question of Serre

Sean Howe|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 18.

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한 줄 요약

이 논문은 $p$-진 모듈라 형식의 완비 헤케 대수와 $p$ 및 $\infty$ 에서 분할된 히 quaternion 대수의 단위군 위의 연속 $p$-진 자동형 형식의 완비 헤케 대수 사이의 이형성(isomorphism)을 확립하며, 세르가 1987년에 제기한 질문에 대한 긍정적 답변을 제시한다. 증명은 허지-테이트 주기 지도와 가짜 하세 불변량(fake Hasse invariants)을 포함한 기하적 방법을 사용하며, 국소-글로벌 호환성 가정 하에 국소 대칭 벡터의 비밀도를 확인한다.

ABSTRACT

We show that the completed Hecke algebra of $p$-adic modular forms is isomorphic to the completed Hecke algebra of continuous $p$-adic automorphic forms for the units of the quaternion algebra ramified at $p$ and $\infty$. This gives an affirmative answer to a question posed by Serre in a 1987 letter to Tate. The proof is geometric, and lifts a mod $p$ argument due to Serre: we evaluate modular forms by identifying a quaternionic double-coset with a fiber of the Hodge-Tate period map, and extend functions off of the double coset using fake Hasse invariants. Assuming local-global compatibility with the local $p$-adic Jacquet-Langlands correspondence of Knight and Scholze, we also show that in many cases the locally algebraic vectors are not dense in the quaternionic representations that appear, confirming an expectation of Knight.

연구 동기 및 목표

• 1987년 세르가 $p$-진 모듈라 형식과 히 quaternion 군 위의 자동형 형식 사이의 관계에 대해 제기한 질문을 해결하기 위해.
• $p$ 및 $\infty$ 에서 분할된 히 quaternion 대수의 단위군 위의 $p$-진 모듈라 형식과 $p$-진 자동형 형식의 완비 헤케 대수 사이의 이형성을 확립하기 위해.
• 세르가 처음 제시한 모 $p$-진 증명을 기하적 방법을 통해 $p$-진 설정으로 올리는 기하적 증명 전략을 제공하기 위해.
• 국소-글로벌 호환성 조건 하에서 히 quaternion $p$-진 표현에서 국소 대칭 벡터의 밀도를 조사하기 위해.
• 일부 히 quaternion 표현에서 국소 대칭 벡터의 비밀도에 대한 라이트의 기대를 확인하기 위해.

제안 방법

• 허지-테이트 주기 지도를 활용하여 히 quaternion 이중 코스를 한 근으로 식별함으로써 모듈라 형식의 평가를 가능하게 한다.
• 가짜 하세 불변량을 사용하여 이중 코스 외부로 함수를 확장함으로써 전역 절단의 구성에 기여한다.
• 기하적 기법을 적용하여 세르의 모 $p$-진 증명을 $p$-진 설정으로 올리며, 완비 헤케 대수의 구조와의 호환성을 보장한다.
• 라이트와 쇼르체의 국소 $p$-진 자코넷-랑글랑즈 대응을 활용하여 국소 표현과 글로벌 자동형 자료를 연결한다.
• 완비 헤케 대수의 이형성을 통해 모듈라 형식과 히 quaternion 자동형 형식 간의 성질를 이전한다.
• $p$-진 모듈라 형식과 그들의 완비 헤케 대수 이론을 적용하여 $p$-진 설정에서의 구조적 동치를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완비 헤케 대수의 $p$-진 모듈라 형식과 $p$ 및 $\infty$ 에서 분할된 히 quaternion 대수의 단위군 위의 $p$-진 자동형 형식 사이에 자연스러운 이형성이 존재하는가?
• RQ2 세르의 모 $p$-진 증명이 기하적 방법을 통해 $p$-진 설정으로 올릴 수 있는가?
• RQ3 국소-글로벌 호환성 조건 하에서, 히 quaternion $p$-진 표현에서 국소 대칭 벡터가 밀도가 아닐 조건은 무엇인가?
• RQ4 라이트와 쇼르체의 국소 $p$-진 자코넷-랑글랑즈 대응은 글로벌 헤케 대수의 구조와 어떻게 상호작용하는가?
• RQ5 가짜 하세 불변량을 $p$-진 자동형 형식의 맥락에서 이중 코스에서 함수를 확장하는 데 얼마나 활용할 수 있는가?

주요 결과

• 완비 헤케 대수의 $p$-진 모듈라 형식은 $p$ 및 $\infty$ 에서 분할된 히 quaternion 대수의 단위군 위의 연속 $p$-진 자동형 형식의 완비 헤케 대수와 이형성(isomorphic)이다.
• 이 이형성은 세르가 1987년에 제기한 $p$-진 자코넷-랑글랑즈 대응에 대한 질문에 대한 긍정적 답변을 제공한다.
• 이 증명은 기하적 방법에 기반하며, 허지-테이트 주기 지도를 통해 이중 코스를 한 근으로 식별하고, 가짜 하세 불변량을 사용하여 이 집합 외부로 함수를 확장한다.
• 라이트와 쇼르체의 국소 $p$-진 자코넷-랑글랑즈 대응과의 국소-글로벌 호환성 가정 하에서, 일부 히 quaternion 표현에서 국소 대칭 벡터가 밀도가 아님을 보였다.
• 이것은 국소 대칭 벡터가 관련 $p$-진 표현에서 밀도가 아닐 것이라는 라이트의 기대를 확인한다.
• 이 구성은 $p$-진 설정에서 모듈라 형식과 히 quaternion 군 위의 자동형 형식 사이의 깊은 기하적 연결을 보여준다.