[論文レビュー] The positive scalar curvature cobordism category

Johannes Ebert, Oscar Randal‐Williams|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、次元が6以上の閉多様体上の正スカラー曲率（psc）計量の空間が、独創的なコボルディズムカテゴリーフレームワークを用いて無限ループ空間のホモトピー型をもつことを確立している。Quillenの定理BとGromov–Lawsonの手術技法をpscコボルディズムカテゴリに適用することで、通常のコボルディズムカテゴリへの忘却写像のホモトピー纤维をpsc計量空間のデロープとして同定し、SegalのΓ空間を用いて無限ループ空間構造を構成するとともに、微分同相群作用に関する剛性結果を証明した。

ABSTRACT

We prove that many spaces of positive scalar curvature metrics have the homotopy type of infinite loop spaces. Our result in particular applies to the path component of the round metric inside $\mathcal{R}^+ (S^d)$ if $d \geq 6$. To achieve that goal, we study the cobordism category of manifolds with positive scalar curvature. Under suitable connectivity conditions, we can identify the homotopy fibre of the forgetful map from the psc cobordism category to the ordinary cobordism category with a delooping of spaces of psc metrics. This uses a version of Quillen's Theorem B and instances of the Gromov--Lawson surgery theorem. We extend some of the surgery arguments by Galatius and the second named author to the psc setting to pass between different connectivity conditions. Segal's theory of $Γ$-spaces is then used to construct the claimed infinite loop space structures. The cobordism category viewpoint also illuminates the action of diffeomorphism groups on spaces of psc metrics. We show that under mild hypotheses on the manifold, the action map from the diffeomorphism group to the homotopy automorphisms of the spaces of psc metrics factors through the Madsen--Tillmann spectrum. This implies a strong rigidity theorem for the action map when the manifold has trivial rational Pontrjagin classes. A delooped version of the Atiyah--Singer index theorem proved by the first named author is used to moreover show that the secondary index invariant to real $K$-theory is an infinite loop map. These ideas also give a new proof of the main result of our previous work with Botvinnik.

研究の動機と目的

• 次元d≥6の閉多様体上の正スカラー曲率計量の空間が無限ループ空間のホモトピー型をもつことを確立すること。
• 正スカラー曲率をもつ多様体のためのコボルディズムカテゴリーフレームワークを構築し、psc計量空間のホモトピー的解析を可能にすること。
• 微分同相群のpsc計量への作用がMadsen–Tillmannスpectrumを通じて因子化されることを示し、有理Pontrjagin類が自明な場合の強い剛性を示すこと。
• Atiyah–Singerの指数定理のデロープ版を用いて、実K理論への2次指数不変量が無限ループ写像であることを証明すること。
• 著者らの前回のBotvinnikとの共同研究の主要結果を、新規のコボルディズムカテゴリーフレームワークを用いて再証明すること。

提案手法

• シェーブ理論的およびposetモデルを用いて、幾何的データをモデル化するための柔軟かつ無限小コラール構造を備えた正スカラー曲率コボルディズムカテゴリを構成する。
• Quillenの定理Bを適用し、pscコボルディズムカテゴリから通常のコボルディズムカテゴリへの忘却写像のホモトピー纤维を、psc計量空間のデロープとして同定する。
• Gromov–Lawsonの手術定理およびその拡張を用いて、コボルディズムカテゴリ内でのさまざまな連結性条件の間を移行する。
• SegalのΓ空間理論を用いて、pscコボルディズムカテゴリからpsc計量空間への無限ループ空間構造を構成する。
• Atiyah–Singer指数定理のデロープ版を用いて、実K理論への2次指数差写像が無限ループ写像であることを示す。
• 微分同相群からpsc計量空間のホモトピー自己同型の空間への作用写像が、Madsen–Tillmannスpectrumを通じて因子化されることを示し、有理Pontrjagin類が自明な場合の剛性を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元d≥6の閉d次元多様体上の正スカラー曲率計量の空間は、ホモトピー型として無限ループ空間をもつか？
• RQ2 pscコボルディズムカテゴリから通常のコボルディズムカテゴリへの忘却写像のホモトピー纤维は、psc計量空間のデロープとして同定可能か？
• RQ3 微分同相群はpsc計量空間にどのように作用するか。この作用はMadsen–Tillmannスpectrumによって記述可能か？
• RQ4 実K理論への2次指数不変量は無限ループ写像か。また、pscコボルディズムカテゴリとはどのように関係するか？
• RQ5 著者らのBotvinnikとの前回の研究の主要結果は、新規のコボルディズムカテゴリーフレームワークを用いて再証明可能か？

主な発見

• d≥6のとき、d次元球面上の正スカラー曲率計量の空間は、ホモトピー的可逆元の部分空間に制限した場合、無限ループ空間のホモトピー型をもつ。
• 適切な連結性条件の下で、pscコボルディズムカテゴリから通常のコボルディズムカテゴリへの忘却写像のホモトピー纤维が、psc計量空間のデロープとして同定される。
• 微分同相群のpsc計量空間への作用はMadsen–Tillmannスpectrumを通じて因子化され、多様体の有理Pontrjagin類が自明な場合には強い剛性定理が成立する。
• 実K理論への2次指数差写像が、デロープ版Atiyah–Singer指数定理を用いて無限ループ写像であることが示された。
• pscコボルディズムカテゴリーフレームワークは、著者らの前回のBotvinnikとの共同研究の主要結果を新たな証明により再構築し、psc計量空間への無限ループ空間構造を確立した。
• 無限ループ空間構造の構成は、手術およびシェーブ理論的技法により適切なホモトピー的条件を確立した後、SegalのΓ空間道具立てをpscコボルディズムカテゴリに適用することで実現された。