[论文解读] The q-fractional analogue for Gronwall-type inequality

Thabet Abdeljawad, Jehad Alzabut|arXiv (Cornell University)|May 9, 2013

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 16被引用 9

一句话总结

本文利用阶数 $0 < \alpha \leq 1$ 的 Caputo 型 q-分数阶初值问题，建立了 Gronwall 不等式的一个 q-分数阶类比，推导出涉及 q-Mittag-Leffler 函数和 q-指数函数的界。其主要贡献是一个 q-Gronwall 引理，确保在初值扰动下解的稳定性，并将其应用于时间尺度上的 q-分数阶微分方程。

ABSTRACT

In this article, we utilize \emph{q}--fractional Caputo initial value problems of order $0

研究动机与目标

• 为 q-分数阶微分方程开发经典 Gronwall 型不等式的 q-类比。
• 解决文献中缺乏 q-分数阶积分不等式版本的问题，特别是针对 Caputo 型 q-分数阶初值问题。
• 建立 q-分数阶微分方程解在初值条件小扰动下的稳定性结果。
• 引入并分析 q-Mittag-Leffler 函数和 q-指数函数在界定 q-分数阶积分不等式解中的作用。

提出的方法

• 利用阶数 $0 < \alpha \leq 1$ 的 q-分数阶 Caputo 导数，在时间尺度 $\mathbb{T}_q$ 上建模初值问题。
• 应用左 q-分数阶积分算子 ${}_q\nabla_a^{-\alpha}$ 将微分不等式转化为积分形式。
• 通过迭代 q-积分引入算子 $\Omega_\mu$，以生成解界的逐次逼近。
• 利用 q-伽马函数 $\Gamma_q(\alpha)$ 和 q-阶乘函数定义 q-Mittag-Leffler 函数和 q-指数函数。
• 利用迭代 $\Omega_\mu^k 1$ 的不动点结构，推导解序列的收敛性与有界性。
• 利用恒等式 ${}_q\nabla^{-\alpha}_a {}_qC_a^\alpha f(t) = f(t) - f(a)$（其中 $0 < \alpha \leq 1$）简化初值问题的表述。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为 Caputo 型 q-分数阶初值问题推导出 Gronwall 不等式的 q-分数阶类比？
• RQ2 q-Mittag-Leffler 函数和 q-指数函数如何在界定 q-分数阶积分不等式解的过程中出现？
• RQ3 在 q-分数阶设定下，何时能保证迭代界 $\sum_{k=0}^\infty \Omega_\mu^k 1$ 的收敛性？
• RQ4 所推导的不等式在多大程度上能保证 q-分数阶系统中解对初值的连续依赖性？
• RQ5 当 $\alpha = 1$ 时，q-Gronwall 不等式如何退化为经典的 q-Gronwall 引理？

主要发现

• 为 $0 < \alpha \leq 1$ 建立了 q-分数阶 Gronwall 型不等式，证明在条件 $v(t) \leq v(a) + {}_q\nabla_a^{-\alpha} v(t) \mu(t)$ 下有 $v(t) \leq v(a) \sum_{k=0}^\infty \Omega_\mu^k 1$。
• 当 $\alpha = 1$ 时，不等式退化为 $v(t) \leq v(a) e_q(t,a)$，其中 $e_q(t,a)$ 为 nabla q-指数函数，从而恢复经典 q-Gronwall 引理。
• 在条件 $\mu(t) < \frac{1}{t^\alpha (1-q)^\alpha}$ 下，级数 $\sum_{k=0}^\infty \Omega_\mu^k 1$ 的收敛性得到保证，从而确保了解界的有界性。
• q-分数阶初值问题的解对初值条件具有连续依赖性：若 $\gamma_n \to \gamma$，则在 $\Lambda_a$ 上一致有 $|\varphi(t) - \phi_n(t)| \to 0$。
• 不等式 $|\varphi(t) - \psi(t)| \leq |\gamma - \beta| \sum_{i=0}^\infty {}_q\Omega_L^i 1 = |\gamma - \beta| {}_q\Omega_\alpha(L, t-a)$ 量化了解在初值数据扰动下的稳定性。
• 算子 $\Omega_\mu$ 通过迭代 q-积分定义，且满足 $\Omega_\mu^k 1(t) = \int_a^t \cdots \int_a^{t_{k-1}} \mu(t_1) \cdots \mu(t_k) \nabla_q t_k \cdots \nabla_q t_1$，从而实现解界递归估计。