[論文レビュー] The Quantum Approximate Optimization Algorithm performance with low entanglement and high circuit depth

Rishi Sreedhar, Pontus Vikstål+4 more|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 9

ひとこと要約

本論文は、量子近似最適化アルゴリズム（QAOA）における量子もつれの役割を、もつれを制限するための低次元の結合次元Dを有する行列積状態（MPS）シミュレーションを用いて、MaxCutおよびExact Cover 3問題について調査している。QAOAは、もつれが低い（D ≈ 10）かつ中程度の回路深さ（p ≈ 30）でもほぼ最適な性能を達成しており、もつれが成功の主要な資源であるとは限らないことを示唆している。また、低Dシミュレーションからの近似パラメータが正確な最適パラメータとよく一致しており、QAOAの効率的な古典的事前学習が可能であることを示している。

ABSTRACT

Variational quantum algorithms constitute one of the most widespread methods for using current noisy quantum computers. However, it is unknown if these heuristic algorithms provide any quantum-computational speedup, although we cannot simulate them classically for intermediate sizes. Since entanglement lies at the core of quantum computing power, we investigate its role in these heuristic methods for solving optimization problems. In particular, we use matrix product states to simulate the quantum approximate optimization algorithm with reduced bond dimensions $D$, a parameter bounding the system entanglement. Moreover, we restrict the simulation further by deterministically sampling solutions. We conclude that entanglement plays a minor role in the MaxCut and Exact Cover 3 problems studied here since the simulated algorithm analysis, with up to $60$ qubits and $p=100$ algorithm layers, shows that it provides solutions for bond dimension $D \approx 10$ and depth $p \approx 30$. Additionally, we study the classical optimization loop in the approximated algorithm simulation with $12$ qubits and depth up to $p=4$ and show that the approximated optimal parameters with low entanglement approach the exact ones.

研究の動機と目的

• 変動量子アルゴリズム（例：QAOA）が最適化問題に対して性能を発揮する際に、もつれが重要な資源であるかどうかを調査すること。
• 行列積状態の結合次元Dを用いて制御されるもつれの制限が、MaxCutおよびExact Cover 3問題におけるQAOAの成功確率に与える影響を評価すること。
• 低もつれの古典的シミュレーションが、QAOAトレーニングに使用可能な正確な最適パラメータの近似を提供できるかどうかを特定すること。
• もつれを制限した状態および高い回路深さ（p まで100）において、QAOA性能のスケーラビリティとロバストネスを評価すること。

提案手法

• もつれを制限する低結合次元Dを有する行列積状態（MPS）を用いてQAOAをシミュレートし、最大60キュービットおよびp=100層の古典的可解なシミュレーションを可能にした。
• 計算コストを低減しつつ解の質の統計的妥当性を保持するため、決定的サンプリングを適用した。
• 低D MPS表現における近似コスト関数の最適化に、密度行列密度行列縮約（DMRG）アルゴリズムを用いた。
• 完全なD=64のシミュレーションからの正確なパラメータと比較して、低Dシミュレーションからの近似最適パラメータ（γ, β）の忠実度を評価した。
• p=1から4の深さにおける100個のMaxCutインスタンスについて、標準QAOA（D=64）を基準に正規化した成功確率の統計的分布を分析した。
• 異なる結合次元における最適パラメータのパターンを調査し、QAOAトレーニングに使える転送可能な初期アーキテクチャを同定した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 行列積状態シミュレーションにおける低結合次元Dによるもつれ制限が、QAOA性能を顕著に低下させるか？
• RQ2 低もつれシミュレーション（D ≈ 10）が、高い回路深さ（p ≈ 100）においてMaxCutおよびExact Cover 3問題でほぼ最適な解の質を達成できるか？
• RQ3 低D MPSシミュレーションからの最適QAOAパラメータ（γ, β）が、完全Dシミュレーションからの正確な最適パラメータをどの程度正確に近似できるか？
• RQ4 低結合次元を用いた場合に、異なる回路深さ（p=2から4）において最適パラメータのパターンが維持されるか。これにより、古典的事前学習が可能か？
• RQ5 低Dシミュレーションからの近似パラメータを正確なシミュレーションに使用した場合、標準QAOAと同等の成功確率が得られるか？

主な発見

• QAOAは、結合次元D ≈ 10でさえも、回路深さp=100であってもMaxCutおよびExact Cover 3問題でほぼ最適な性能を達成しており、もつれが成功の主要な資源であるとは限らないことを示している。
• p=3およびp=4の深さにおいて、低Dシミュレーション（D≥12）からの最適パラメータは、10個のMaxCutインスタンスのうち9つで正確な最適パラメータとよく一致しており、高いパラメータ忠実度を示している。
• 低Dシミュレーション（D≈8）からの近似パラメータを用いたQAOAの中央値成功確率は、標準QAOA性能の約50％に達しており、一部のインスタンスでは初期パラメータの有利さにより100％を超える場合もあった。
• D≥12の近似最適パラメータは、異なる回路深さ（p=2から4）において安定したパターンを示しており、QAOAアーキテクチャの古典的事前学習の可能性を示唆している。
• 標準QAOAを基準に正規化した成功確率は、中間的な結合次元（D≈12）で正確な値に近づき、これより大きなもつれの増加は限界効果を示すことが示された。
• 低もつれ下でもQAOAの古典的最適化ループは有効であり、特にD≥12のとき、低Dシミュレーションからの近似最適パラメータが正確な値に非常に近づくことが確認された。