[論文レビュー] The rational homotopy of mapping spaces of E${}_n$ operads

Benoît Fresse, Victor Turchin+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 22被引用数 33

ひとこと要約

本稿は、グラフ複体を介してEₙオペラッド間の写像空間の有理ホモトピー型を計算し、n−m>2のとき、Mapʰ(Dₘ,Dₙ)とMapʰ(Dₘ,Dₙ^ℚ)の有理ホモトピー型が同値であることを示している。双微分複体とヘアグラフ複体の間の関係を確立することで、低次の有理ホモトピー群の明示的計算が可能となり、高次の次数において無限個の非自明な類の構成が可能になった。

ABSTRACT

We express the rational homotopy type of the mapping spaces $\mathrm{Map}^h(\mathsf D_m,\mathsf D_n^{\mathbb Q})$ of the little discs operads in terms of graph complexes. Using known facts about the graph homology this allows us to compute the rational homotopy groups in low degrees, and construct infinite series of non-trivial homotopy classes in higher degrees. Furthermore we show that for $n-m>2$, the spaces $\mathrm{Map}^h(\mathsf D_m,\mathsf D_n^{\mathbb Q})$ and $\mathrm{Map}^h(\mathsf D_m,\mathsf D_n)$ are simply connected and rationally equivalent. As application we determine the rational homotopy type of the deloopings of spaces of long embeddings. Some of the results hold also for mapping spaces $\mathrm{Map}_{\leq k}^h(\mathsf D_m,\mathsf D_n^{\mathbb Q})$, $\mathrm{Map}_{\leq k}^h(\mathsf D_m,\mathsf D_n)$, $n-m\geq 2$, of the truncated little discs operads, which allows one to determine rationally the delooping of the Goodwillie-Weiss tower for the spaces of long embeddings.

研究の動機と目的

• 有理数的ターゲットをもつ小さな円板オペラッド間の写像空間Mapʰ(Dₘ, Dₙ^ℚ)の有理ホモトピー型を特定すること。
• これらの写像空間のホモトピー型を、特にヘアグラフ複体を含むグラフ複体に関連付けること。
• n−m>2のとき、Mapʰ(Dₘ, Dₙ^ℚ)とMapʰ(Dₘ, Dₙ)の間の有理同値性を確立すること。
• 結果を用いて、長い埋め込み空間のデループの有理ホモトピー型を計算すること。
• フレームワークを切断されたオペラッドへと拡張し、Goodwillie-Weiss埋め込み計算と結びつけること。

提案手法

• dgコオペラッドの双微分複体にL∞-代数構造を導入し、写像空間をモデル化すること。
• dgホップΛ-コオペラッドのファイブレーション補完と単体的フレームを構成し、導来写像空間をモデル化すること。
• フィルター付きL∞-代数上の完備テンソル積を用いて、L∞-代数のMaurer-Cartan空間のナーヴを実現すること。
• グラフ複体技術を用いて、写像空間のホモトピー型をヘアグラフのリー代数のナーヴと同定すること。
• 既知のグラフホモロジーの結果を応用し、低次の有理ホモトピー群を計算すること。
• フィルター付きL∞-代数とMaurer-Cartan要素を用いて、異なるフィルターにおけるL∞-代数のナーヴを定義・比較すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 写像空間Mapʰ(Dₘ, Dₙ^ℚ)の有理ホモトピー型は、どのように組合せ的不変量で記述できるか？
• RQ2 n−m>2のとき、Mapʰ(Dₘ, Dₙ^ℚ)とMapʰ(Dₘ, Dₙ)の有理ホモトピー型の関係は何か？
• RQ3 グラフ複体を用いて、これらの写像空間のホモトピー群を明示的に計算できるか？
• RQ4 結果は切断されたオペラッドおよびGoodwillie-Weiss埋め込み計算へどのように拡張できるか？
• RQ5 フィルター付きL∞-代数のMaurer-Cartan空間のナーヴ構成は、フィルターの選び方に依存しないか、弱同値の意味で不変か？

主な発見

• Mapʰ(Dₘ, Dₙ^ℚ)の有理ホモトピー型は、ヘアグラフのリー代数のナーヴ、特にHGCₘ,ₙグラフ複体のナーヴと同値である。
• n−m>2のとき、空間Mapʰ(Dₘ, Dₙ^ℚ)とMapʰ(Dₘ, Dₙ)は有理的に同値であり、かつ単連結である。
• 低次の有理ホモトピー群はグラフホモロジーを用いて明示的に計算され、グラフ複体コホモロジーから非自明な類が生じる。
• HGCₘ,ₙ複体の構造を用いて、高次の次数において無限個の非自明な有理ホモトピー類が構成された。
• 結果は切断されたオペラッドへ拡張され、長い埋め込みのGoodwillie-Weissタワーのデループの有理ホモトピー型の計算が可能になった。
• フィルター付きL∞-代数のMaurer-Cartan空間のナーヴは、比較可能なフィルターの選び方に依存せず、弱同値の意味で不変である。