[論文レビュー] The real locus of an involution map on the moduli space of flat connections on a Riemann surface

Nan-Kuo Ho|ArXiv.org|Dec 23, 2003

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、非可換な曲面 Σ 上の平坦 G-バンドルのモジュライ空間が、その可換二重被覆 Ũ 上の平坦 G-バンドルのモジュライ空間に作用する反正則的かつ反シンプレクティックな対合の固定点集合と同型であるための必要十分条件を確立している。この同型は、Ũ 上の平坦接続のケーラー的モジュライ空間内に最小ラグランジュ部分多様体を構成することを可能にする。

ABSTRACT

It is known that every nonorientable surface $Σ$ has an orientable double cover $ ildeΣ$. The covering map induces an involution on the moduli space $ ilde{\M}$ of gauge equivalence classes of flat $G$-connections on $ ildeΣ$. We identify the relation between the moduli space $\M$ and the fixed point set of the moduli space $ ilde{\M}$. In particular, $\M$ is isomorphic to the fixed point set of $ ilde{\M}$ if and only if the order of the center of $G$ is odd. One important application is that we give a way to construct a minimal Lagrangian submanifold of the moduli space $ ilde{\M}$.

研究の動機と目的

• 非可換曲面 Σ 上の平坦 G-接続のモジュライ空間 M と、その可換二重被覆 Ũ 上の平坦 G-接続のモジュライ空間 M̃ における対合の固定点集合との間の関係を明確化すること。
• 平坦 G-接続のモジュライ空間 M が、M̃ 上の対合の固定点集合と同型であるための条件を同定すること。
• 固定点構造を用いて、ケーラー的モジュライ空間 M̃ 内に最小ラグランジュ部分多様体を構成すること。
• 2つの基点を用いて対合の作用を明示的にする表現論的モデルを、モジュライ空間に提供すること。

提案手法

• 可換二重被覆 π:Ũ→Σ を用いて、Ũ 上の平坦 G-接続の空間に Z₂-作用を誘導する。
• Ũ 上の G-値 1-形式の空間に、固定点が Σ 上の 1-形式に対応する対合 τ を定義する。
• Ũ 上の平坦接続の空間における対合 τ が、M̃ 上に、等長的かつ反正則的かつ反シンプレクティックな対合へと上昇することを示す。
• 2つの基点を用いて、G への基本群の表現を用いた M̃ の表現モデルを構成し、τ の作用を明確にする。
• M̃ 上の τ の固定点集合を、G/Z(G) から G への持ち上げ表現を用いて解析し、Z(G)/2Z(G) 内の共軛類を用いて成分を同定する。
• M̃ に与えられたケーラー構造を用いて、固定点集合が完全測地的ラグランジュ部分多様体であることを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換曲面 Σ 上の平坦 G-接続のモジュライ空間 M が、その可換二重被覆 Ũ 上の平坦 G-接続のモジュライ空間 M̃ における対合の固定点集合と同型であるための条件は何か？
• RQ2 G の中心が、M̃ 上の対合の固定点集合の構造にどのように影響を与えるか？
• RQ3 M̃ 上の対合の固定点集合を用いて、ケーラー的モジュライ空間 M̃ 内に最小ラグランジュ部分多様体を構成できるか？
• RQ4 |Z(G)| が偶数のとき、モジュライ空間 M と M̃ 上の τ の固定点集合との正確な関係は何か？
• RQ5 2つの基点を用いた表現モデルは、M̃ 上の対合 τ の作用をどのように明確にするか？

主な発見

• 非可換曲面 Σ 上の平坦 G-接続のモジュライ空間 M は、G の中心の位数が奇数であるときかつそのときに限り、M̃ 上の対合 τ の固定点集合と同型である。
• |Z(G)| が奇数のとき、M の滑らかな部分は、M̃ 上の τ の固定点集合の滑らかな部分と同型である。
• M̃ 上の対合 τ の固定点集合は、ケーラー多様体 M̃ の完全測地的ラグランジュ部分多様体である。
• |Z(G)| が偶数のとき、M̃ 上の τ の固定点集合は複数の連結成分を持ち、そのうちの1つは M と同型であり、残りは G/Z(G) からの非自明な持ち上げに対応する。
• G = SU(2) の場合、M̃ 上の τ の固定点集合（これは CP³ に同型）は、Fubini-Study 距離を伴う RP³ と等長的であり、最小ラグランジュ部分多様体として確認される。
• M̃ 上の τ の固定点集合は、Σ♯RP² 上の平坦 G/Z(G)-接続のモジュライ空間と微分同相であり、射影 π:G→G/Z(G) によって誘導される同型である。