[論文レビュー] The robustness of a many-body decoherence formula of Kay under changes in graininess and shape of the bodies

Varqa Abyaneh, Bernard S. Kay|ArXiv.org|Jun 6, 2005

Quantum Mechanics and Applications参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、巨視的物体の粗さおよび形状の変化に対するKayの多体デコherence式のロバスト性を調査し、一様な球体を小さな球体の粗い塊（例えば、より小さな球体の立方格子）に置き換えると、元の式の形を保つ有効半径 $ R_{\text{eff}} $ が得られることを示している。主な結果は、立方格子における $ R_{\text{eff}} $ のきつい上限・下限を特定することであり、量子重力的デコherenceを示す現実的な物理系への式の適用可能性を裏付けている。

ABSTRACT

In ``Decoherence of macroscopic closed systems within Newtonian quantum gravity'' (Kay B S 1998 Class. Quantum Grav. 15 L89-L98) it was argued that, given a many-body Schroedinger wave function ψ(x_1,...,x_N) for the centre-of-mass degrees of freedom of a closed system of N identical uniform-mass balls of mass M and radius R, taking account of quantum gravitational effects and then tracing over the gravitational field amounts to multiplying the position-space density matrix ρ(x_1,...,x_N; x_1',...,x_N')= ψ(x_1,...,x_N)ψ*(x_1',...,x_N') by a multiplicative factor, which, if the positions {x_1,...,x_N; x_1',...,x_N'} are all much further away from one another than R, is well-approximated by the product from 1 to N over I, J, K (I 0) of radius r with centres at the vertices of a cubic lattice of spacing a (assumed to be very much bigger than 2r) and side 2La we establish the bound e^{-1/3}(r/a)^{1/n}La < R_eff < 2\sqrt 3(r/a)^{1/n} La.

研究の動機と目的

• 巨視的物体が一様な球体ではなく、粗い塊としてモデル化された場合に、Kayの多体デコherence式が有効であるかどうかを評価すること。
• 小さな構成球体の数やサイズ（粗さ）および形状（例えば、立方格子）の変化がデコherence要因に与える影響を特定すること。
• 元の式を物理的に現実的な系に一般化する数学的に厳密な有効半径 $ R_{\text{eff}} $ を確立すること。
• 原子核や塊体物質のような、量子重力的デコherenceを示す系への式の適用可能性を検証すること。

提案手法

• 質量 $ M $、半径 $ R $ の一様な質量の球体を、$ n $ 個の小さな、互いに離れた球体（質量 $ m $、半径 $ r $）に置き換え、離散的格子を形成する。
• すべての $ Nn $ 個の小さな球体の位置について積をとることで、新しい系のデコherence要因を導出する。この際、$ M \to m $、$ R \to r $ に置き換える。
• 剛体平行移動と周期的境界条件を用いた幾何的全単写像を用いて立方格子をモデル化し、点間の距離を分析する。
• 粒子間距離の幾何平均を推定するために、無限大直径（容量）の概念を適用する。
• 粒子間距離の積から導かれる不等式を用いて、有効半径 $ R_{\text{eff}} $ の境界を確立する。
• 格子構造の漸近的解析と数学的帰納法を用いて、$ R_{\text{eff}} $ の下限および上限を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 巨視的物体が内部構造を持つ粗い塊に置き換えられた場合、Kayの多体デコherence式は依然として有効であるか？
• RQ2 有効半径 $ R_{\text{eff}} $ は、構成球体の粗さおよび形状にどのように依存するか？
• RQ3 立方格子のような非一様で離散的な内部構造を持つ系に対し、元のデコherence式を一般化できるか？
• RQ4 半径 $ r $、間隔 $ a $ の $ n = (2\ell+1)^3 $ 個の小さな球体からなる立方格子について、$ R_{\text{eff}} $ の数学的境界は何か？
• RQ5 物体の内部配置における位相的および幾何的変化に対して、デコherence式はロバストか？

主な発見

• 半径 $ r $、間隔 $ a $ の $ n = (2\ell+1)^3 $ 個の小さな球体からなる立方格子について、有効半径 $ R_{\text{eff}} $ は不等式 $ e^{-1/3}(r/a)^{1/n}\ell a \leq R_{\text{eff}} \leq 2\sqrt{3}(r/a)^{1/n}\ell a $ を満たす。
• 下限 $ e^{-1/3}(r/a)^{1/n}\ell a $ は、$ \ell $ についての帰納法を用いて導出され、すべての $ \ell \in \mathbb{N} $ に対して不等式が成り立つことが証明された。
• 上限 $ 2\sqrt{3}(r/a)^{1/n}\ell a $ は、粒子間距離の積に関する幾何的および漸近的推定を用いて確立された。
• 有効半径 $ R_{\text{eff}} $ は $ r/a $ の比、粒子数 $ n $、格子サイズ $ \ell $ に依存するが、$ \ell a $ に比例する。
• 結果として、$ R $ を $ R_{\text{eff}} $ に置き換える限り、元のデコherence式は粗い塊に対しても近似的に有効であることが示され、そのロバスト性が裏付けられた。
• 解析により、原子核や巨視的物質のような、量子重力的デコherenceを示す現実的な系への式の適用可能性が確認された。