[論文レビュー] The role of symmetries in adiabatic quantum algorithms

Gernot Schaller, Ralf Schützhold|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2007

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、Exact Cover 3 などの NP 完全問題に対して、線形および二次のパウリ項のみを含むハミルトニアンを用いた、対称性回復型の断熱的量子アルゴリズムを提案する。対称性回復に関連する2次量子相転移を活用することで、従来の断熱的スキームよりも優れた平均的性能を達成し、特に因数分解や TEA キー探索のような問題において、二次ハミルトニアンに符号化された場合、グローバーのアルゴリズムよりも指数的スピードアップの可能性を示す。

ABSTRACT

Exploiting the similarity between adiabatic quantum algorithms and quantum phase transitions, we argue that second-order transitions -- typically associated with broken or restored symmetries -- should be advantageous in comparison to first-order transitions. Guided by simple examples we construct an alternative adiabatic algorithm for the NP-complete problem {\em Exact Cover 3}. We show numerically that its average performance (for the considered cases up to ${\cal O}\{20\}$ qubits) is better than that of the conventional scheme. The run-time of adiabatic algorithms is not just determined by the minimum value of the fundamental energy gap (between the ground state and the exited states), but also by its curvature at the critical point. The proposed symmetry-restoring adiabatic quantum algorithm only contains contributions linear and quadratic in the Pauli matrices and can be generalized to other problem Hamiltonians which are decomposed of terms involving one and two qubits. We show how the factoring problem can be cast into such a quadratic form. These findings suggest that adiabatic quantum algorithms can solve a large class of NP problems much faster than the Grover search routine (which corresponds to a first-order transition and yields a quadratic enhancement only).

研究の動機と目的

• 対称性回復に関連する2次量子相転移が、断熱的量子アルゴリズムの性能を向上させ得るかどうかを調査すること。
• 系のサイズに伴い最小エネルギーギャップが指数的に減少するため、従来の断竣工的アルゴリズムに見られる長時間の実行時間という制限を克服すること。
• 線形および二次のパウリ相互作用のみを用いる新しい断竣工的アルゴリズムを設計すること。これは、高次項よりも物理的に実現可能で、スケーラビリティに優れる。
• 因数分解やティニ暗号化アルゴリズム（TEA）における鍵回復問題が、二次ハミルトニアンに効率的に符号化可能であることを示すこと。

提案手法

• 線形および二次のパウリ行列項からなるハミルトニアンを用いて、Exact Cover 3 のための新しい断竣工的アルゴリズムを構築する。
• 初期ハミルトニアン（既知の基底状態を持つ）と、解を符号化した最終問題ハミルトニアンとの間を滑らかに.interpolate する時間依存ハミルトニアンを用いる。
• 指数的ギャップが小さい1次相転移とは異なり、代数的ギャップスケーリングを示す特徴を持つ2次量子相転移の性質を活用する。
• 断竣工定理を適用し、補間が十分に遅ければ、系が全過程で基底状態に留まるように保証する。実行時間は最小ギャップに反比例してスケーリングされる。
• アーキテクチャの補助キュービットと可逆操作（加算、XOR、ビットシフト）を用いて、因数分解や TEA 鍵回復などの古典的 NP 問題を二次ハミルトニアンに符号化する。
• 数値的に、20キュービット程度までの系サイズにおいて、提案されたアルゴリズムが従来の断竣工的スキームを上回ることを示し、平均的な実行時間スケーリングが改善されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称性回復に関連する2次量子相転移は、1次相転移と比較して、断竣工的量子アルゴリズムの性能を向上させ得るか？
• RQ2 線形および二次のパウリ相互作用のみを用いる断竣工的アルゴリズムは、NP 完全問題に対して、従来のスキームよりも速い実行時間スケーリングを達成できるか？
• RQ3 因数分解やティニ暗号化アルゴリズム（TEA）における鍵回復問題は、断竣工的量子計算に適した二次ハミルトニアンに効率的に符号化可能か？
• RQ4 断竣工的量子アルゴリズムにおける、臨界点におけるエネルギーギャップの曲率と全変化時間との関係は何か？
• RQ5 提案された対称性に基づくアプローチは、二次的スピードアップしか提供しないグローバーのアルゴリズムよりもスピードアップを達成できるか？

主な発見

• 提案された対称性回復型断竣工的アルゴリズムは、20キュービットまでの数値的結果において、従来のスキームよりも優れた平均的性能を示した。
• 最小ギャップが指数的ではなく代数的減少を示す臨界点におけるより良好なギャップ挙動のおかげで、実行時間スケーリングが改善された。
• 本アルゴリズムは、線形および二次のパウリ項のみを含むハミルトニアンに基づくが、これは高次相互作用よりも物理的に実現可能で、デ coherent に弱い。
• 因数分解や TEA 鍵回復問題は、O(nℓ) 個の補助キュービットを用いて二次ハミルトニアンに符号化可能であり、古典的ブルートフォース探索に比べて指数的スピードアップの可能性を秘めている。
• この手法は、断竣工的量子アルゴリズムが、パウリ行列に関して二次的な問題ハミルトニアンを持つ場合、広範なクラスの NP 問題をグローバーのアルゴリズムよりも著しく速く解ける可能性を示唆している。
• 数値的証拠から、アルゴリズムの複雑度が多項式スケーリングであることが示され、特定の問題においてグローバーの二次スケーリングに対し指数的スピードアップの可能性がある。