[論文レビュー] The Shafarevich conjecture for hypersurfaces in abelian varieties

Brian Lawrence, Will Sawin|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 43被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、次元が4以上のアーベル多様体において、固定された正則なネロン＝セベリ群クラスを表し、有限個の素数を除き良い還元を持つ滑らかな超曲面が、平行移動を除いて有限個であることを証明する。証明は、$p$-進ホッジ構造の変動と、層の畳み込みに新しいタナカリアン的アプローチを組み合わせ、大モノドロミーを確立することで、曲線のシャファレヴィチ予想に類似した幾何的有限性を示す。

ABSTRACT

Faltings proved that there are finitely many abelian varieties of genus $g$ over a number field $K$, with good reduction outside a finite set of primes $S$. Fixing one of these abelian varieties $A$, we prove that there are finitely many smooth hypersurfaces in $A$, with good reduction outside $S$, representing a given ample class in the Néron-Severi group of $A$, up to translation, as long as the dimension of $A$ is at least $4$. Our approach builds on the approach of arXiv:1807.02721 which studies $p$-adic variations of Hodge structure to turn finiteness results for $p$-adic Galois representations into geometric finiteness statements. A key new ingredient is an approach to proving big monodromy for the variations of Hodge structure arising from the middle cohomology of these hypersurfaces using the Tannakian theory of sheaf convolution on abelian varieties.

研究の動機と目的

• アーベル多様体内の滑らかな超曲面が、有限個の素数を除き良い還元を持つという幾何的有限性を確立すること。
• 元々曲線およびアーベル多様体に対して証明されたシャファレヴィチ予想を、次元が2より大きい超曲面にまで拡張すること。
• アーベル多様体の次元が4以上であるとき、固定された正則なネロン＝セベリクラスを表し、有限個の素数を除き良い還元を持つ超曲面が、平行移動を除いて有限個であることを証明すること。
• タナカリアン形式的および層の畳み込みを用いて、アーベル多様体内の超曲面から生じるホッジ構造の変動における大モノドロミーを示す新しい手法を開発すること。

提案手法

• $p$-進ホッジ構造の変動を用いて、$p$-進ガロア表現の有限性を幾何的有限性の主張に変換する。
• クライマーとヴァイサウアーの層の畳み込み形式的を応用し、アーベル多様体上のコホロロジー構造を分析する。
• タナカリアン理論を用いて、超曲面の中間コホロロジーにおける大モノドロミーを確立する。これは有限性を示す上で鍵となるステップである。
• 特異超曲面が与えられたピカールクラスの射影空間において超曲面として現れる余次元1の部分多様体を成すことを利用し、判別式多項式の$S$-単数に関するディオファントス方程式に問題を還元する。
• 漸近的推定と小次元数の個別検証を用い、Pythonコードによる有限検査を支援する。
• 強いモノドロミー条件を介して、準有限な周期写像を確立し、幾何と算術的有限性を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元が4以上のアーベル多様体において、固定された正則なネロン＝セベリクラスを表し、有限個の素数を除き良い還元を持つ滑らかな超曲面は、平行移動を除いて有限個か？
• RQ2 曲線のシャファレヴィチ予想は、次元2を超えるアーベル多様体内の超曲面へと拡張可能か？
• RQ3 大モノドロミーは、このような超曲面の有限性を保証するために果たす役割は何か？ また、層の畳み込みとタナカリアン形式的を用いて、どのようにして大モノドロミーを確立できるか？
• RQ4 特異超曲面の判別式の分岐集合の構造は、$S$-単数におけるディオファントス的有限性とどのように関係するか？
• RQ5 次元3における算術的障害は何か？ なぜ、この結果は交差数が急速に増加する列$d(i)$で割り切れないという条件を必要とするのか？

主な発見

• 次元が4以上のアーベル多様体において、固定された正則なネロン＝セベリクラスを表し、有限個の素数を除き良い還元を持つ滑らかな超曲面は、平行移動を除いて有限個である。
• この結果は、$\mathcal{O}_K[1/S]$における$S$-単数$u$を用いた判別式方程式$\Delta(x_1,\dots,x_N) = u$の解の有限性と同値であり、シャファレヴィチ予想を超曲面に一般化する。
• 次元3では、三重交差数$\phi \cdot \phi \cdot \phi$が任意の$i \geq 2$に対して$d(i)$で割り切れないという条件下で有限性が成り立つ。ここで$d(i)$は超指数的に増加する。
• 線形再帰を満たす$a(i)$を用いて定義される列$d(i) = \binom{a(i)+a(i+1)}{a(i)}$は、非常に急速に増加するため、除外される交差数の割合は無視できるほど小さい。
• 本証明では、アーベル多様体上の層の畳み込みにタナカリアン形式的を適用することで、超曲面の中間コホロロジーにおけるホッジ構造の変動に対する大モノドロミーを確立した。
• この手法は、ファルツィングスの元々の定理とは独立した算術的有限性結果への新たな道筋を提供し、シャファレヴィチ予想が多くの多様体族に対して成り立つという広範な予想を支持する。