[論文レビュー] The singularities and Kodaira dimension of unitary Shimura varieties

Yota Maeda|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2020

Advanced Algebra and Geometry参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、n > 4 のときユニタリ・シュミラ多様体が標準的特異点を持つことを確立し、特にボルヒャーツ形式 Φ₁₂ の制限を用いて、Q(√−1) および Q(√−3) 上の特定のユニタリ・シュミラ多様体が一般型であることを、低重量のモジュラー形式が分岐被覆上に消えることの分析により示している。

ABSTRACT

The Kodaira dimension of Shimura varieties has been studied by many people. Kondo and Gritsenko-Hulek-Sankaran studied the singularities of orthogonal Shimura varieties related to the moduli spaces of polarized K3 surfaces. They proved that they have canonical singularities and are of general type if the polarization degree is sufficiently large. In this paper, we work on similar problems for unitary Shimura varieties. We show that they have canonical singularities if $n > 4$. As an application, we show that certain unitary Shimura varieties associated with Hermitian forms over the rings of integers of $\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$, $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ are of general type. We use modular forms of low weight vanishing on ramification divisors, which are the restrictions of the quasi-pullbacks of the Borcherds form $Φ_{12}$.

研究の動機と目的

• 直交的シュミラ多様体に関する先行研究を拡張し、ユニタリ・シュミラ多様体の特異点およびコルデイラ次元を調査すること。
• 特に虚二次体の整数環上のヘルミート形式に関連するユニタリ・シュミラ多様体が一般型である条件を特定すること。
• 分岐被覆上で消える低重量モジュラー形式、特にそれらの役割が、これらの多様体の双正則幾何に与える影響を分析すること。
• ボルヒャーツ形式 Φ₁₂ の準引き戻しの方法をユニタリ設定に拡張し、モジュライ空間の幾何的性質を導出すること。

提案手法

• 特にボルヒャーツ形式 Φ₁₂ を用いたモジュラー形式の理論を応用し、ユニタリ・シュミラ多様体上に低重量のモジュラー形式を構成すること。
• ボルヒャーツ形式 Φ₁₂ を分岐被覆に制限し、モジュラー形式の消える性質を分析すること。
• 準引き戻し構成を用いて、特異点や双正則不変量を検出するモジュラー形式を生成すること。
• 標準的特異点が生じるための基準として、正則標準除数がカーティエであり、不恰好が非負であることを適用すること。
• K = Q(√−1), Q(√−3) における O_K 上のヘルミート形式に関連するユニタリ・シュミラ多様体の幾何を分析すること。
• 特異点集合上で低重量モジュラー形式が消えることにより、正則標準バンドルが大きいことを示し、コルデイラ次元が一般型であることを確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユニタリ・シュミラ多様体が標準的特異点を持つ条件は何か？
• RQ2 低重量モジュラー形式を用いることで、ユニタリ・シュミラ多様体のコルデイラ次元を特定できるか？
• RQ3 ボルヒャーツ形式 Φ₁₂ を分岐被覆に制限することにより、ユニタリ・シュミラ多様体の双正則幾何にどのような影響を与えるか？
• RQ4 O_Q(√−1) および O_Q(√−3) 上のヘルミート形式に関連するユニタリ・シュミラ多様体は一般型か？
• RQ5 Φ₁₂ の準引き戻しは、ユニタリ・シュミラ多様体における特異点および正則バンドルの検出に果たす役割は何か？

主な発見

• 次元パrameter n > 4 のとき、ユニタリ・シュミラ多様体は標準的特異点を持つ。
• Q(√−1) および Q(√−3) の整数環上のヘルミート形式に関連する特定のユニタリ・シュミラ多様体は一般型である。
• 特にボルヒャーツ形式 Φ₁₂ の制限として得られる低重量モジュラー形式は、分岐被覆上で消え、コルデイラ次元を特定する上で中心的な役割を果たす。
• Φ₁₂ の準引き戻し構成は、ユニタリ・シュミラ多様体における標準的特異点および双正則不変量を検出する手法を提供する。
• 研究されたユニタリ・シュミラ多様体の正則標準バンドルは大きいことが確認され、一般型であることが裏付けられた。
• これらの多様体の幾何的性質は、モジュラー形式と特異点集合の構造との相互作用によって決定される。