[論文レビュー] The Stability of Self-Shrinkers of Mean Curvature Flow in Higher Codimension

Yng-Ing Lee, Yang-Kai Lue|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ColdingとMinicozziの自己収縮超曲面における安定性理論を、より高い余次元へと拡張する。F汎関数の第一および第二変分公式を導出し、法ベクトル場に作用する楕円型系を用いたF安定性の同値条件を確立する。また、Anciauxが構成した閉ラグラングィアン自己収縮超曲面が、次元n ≥ 7の場合およびS³内の特定の最小特異ルジャンドル曲線に対して不安定であることを証明する。

ABSTRACT

In this paper, we generalize Colding and Minicozzi's work \cite{CM} on the stability of self-shrinkers in the hypersurface case to higher co-dimensional cases. The first and second variation formulae of the $F$-functional are derived and an equivalent condition to the stability in general codimension is found. Moreover, we show that the closed Lagrangian self-shrinkers given by Anciaux in \cite{An} are unstable.

研究の動機と目的

• 余次元1におけるColdingとMinicozziの自己収縮超曲面のF安定性理論を、より高い余次元へ一般化すること。
• 一般余次元におけるF汎関数の第一および第二変分公式を導出すること。
• 法ベクトル場に作用する楕円型系を用いたF安定性の同値条件を特定すること。
• Anciauxが構成した閉ラグラングィアン自己収縮超曲面の高余次元における安定性を分析すること。
• n ≥ 7 または S³ 内の特定の最小特異ルジャンドル曲線の場合に、コンパクトな台を持つ法変動に対してその自己収縮超曲面が不安定であることを確立すること。

提案手法

• 一般余次元のR^m内に埋め込まれた部分多様体に対して、F汎関数の第一および第二変分公式を導出する。
• ラプラシアン、第二基本形式、法接続を用いて定義される、法ベクトル場に作用する二階の楕円型作用素 $ L^{ot} $ を導入する。
• 重み付き内積条件によるF安定性の同値性を確立する：$ \int_{\Sigma} \langle V, -L^{\perp}V \rangle e^{-|X|^2/4} d\mu \geq 0 $、直交制約を満たすものとする。
• 径方向分解を用いて、S^{m-1} 内の最小特異ルジャンドル部分多様体 M を用いて、閉ラグラングィアン自己収縮超曲面に安定性条件を適用する。
• M の接バンドル内の関数 w を用いて、$ V = \frac{1}{r^2} J(\gamma w) $ という明示的な法変動を構成し、第二変分をテストする。
• 漸近的解析と曲率推定を用いて、第二変分が負であることを示し、$ f(s) = n-3 + 4\sin^2(\theta-\phi) - 4\cos^2(\theta-\phi) $ が非負かつある点で正である場合に不安定性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 F安定性は、高余次元における自己収縮超曲面へどのように一般化されるか？
• RQ2 F汎関数の第二変分は、法ベクトル場に作用する楕円型系を用いてどのように表現されるか？
• RQ3 高余次元におけるF安定性のための法ベクトル場に必要な十分な条件は何か？
• RQ4 Anciauxが構成した閉ラグラングィアン自己収縮超曲面は、コンパクトな台を持つ法変動に対して安定か？
• RQ5 どのような次元的または幾何的条件下で、ラグラングィアン自己収縮超曲面の不安定性が生じるか？

主な発見

• 本稿では、F安定性が、$ \int_{\Sigma} \langle V, H \rangle e^{-|X|^2/4} d\mu = 0 $ および $ \int_{\Sigma} V e^{-|X|^2/4} d\mu = 0 $ を満たすすべての法ベクトル場 $ V $ に対して、重み付き内積 $ \int_{\Sigma} \langle V, -L^{\perp}V \rangle e^{-|X|^2/4} d\mu \geq 0 $ の非負性と同値であることを確立する。
• 多項式的体積成長を有する完全な自己収縮超曲面に対しては、F安定性は、多項式的成長を有する法ベクトル場の空間 $ S_{\Sigma} $ において、同じ不等式によって特徴づけられる。
• Anciauxが構築した閉ラグラングィアン自己収縮超曲面は、$ n \geq 7 $ の場合に不安定であることが示され、第二変分が負であるような法変動 $ V $ の存在に起因する。
• $ n = 2 $ の場合、$ \mathbb{S}^3 $ 内の最小特異ルジャンドル曲線は唯一、大円である。対応する自己収縮超曲面は不安定であり、第二変分が負である。これは径方向積分 $ \int_{\gamma} r^2 e^{-r^2/4} r^{-3} ds > 0 $ に起因する。
• 不安定性は、関数 $ f(s) = n-3 + 4\sin^2(\theta-\phi) - 4\cos^2(\theta-\phi) $ が非負かつある点で正である場合に生じる。これは $ n \geq 7 $ または $ \sin(\theta - \phi) \in [1/\sqrt{2}, 1] $ の場合に成立する。
• 第二変分は径方向分解 $ \Sigma = \gamma \times M $ を用いて計算され、問題は $ |\nabla^M w|^2 $、$ |\langle A^{M,\mathbb{S}}, Jw \rangle|^2 $、および曲率項の解析に還元され、選択された変動のもとで負定値の式が得られる。