[논문 리뷰] The stack of higher internal categories and stacks of iterated spans

David Li-Bland|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 29.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 8인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 ∞-토이의 ∞-카테고리에서의 루리에의 고차 내부 카테고리 구성법과 호이스팅의 국소 체계를 갖춘 반복 스파나 구성법이 ∞-토이의 ∞-카테고리 위에 스택을 이룬다는 것을 증명한다. 통합된 ∞-카테고리인 내부 카테고리의 전체 ∞-카테고리에서 작은 극한에 대한 연속성에 의해 이 두 구성법이 강하 조건을 만족함을 보여, 고차 카테고리와 반복 스파나의 ∞-스택을 유도한다.

ABSTRACT

In this paper, we show that two constructions form stacks: Firstly, as one varies the $\infty$-topos, $\mathcal{X}$, Lurie's homotopy theory of higher categories internal to $\mathcal{X}$ varies in such a way as to form a stack over the $\infty$-category of all $\infty$-topoi. Secondly, we show that Haugseng's construction of the higher category of iterated spans in a given $\infty$-topos (equipped with local systems) can be used to define various stacks over that $\infty$-topos. As a prerequisite to these results, we discuss properties which limits of $\infty$-categories inherit from the $\infty$-categories comprising the diagram. For example, Riehl and Verity have shown that possessing (co)limits of a given shape is hereditary. Extending their result somewhat, we show that possessing Kan extensions of a given type is heriditary, and more generally that the adjointability of a functor is heriditary.

연구 동기 및 목표

• 루리에의 ∞-토이 내 고차 내부 카테고리 구성법이 ∞-토이의 ∞-카테고리 위에 스택을 이룬다는 것을 증명하는 것.
• 하우스팅의 국소 체계를 갖춘 반복 스파나 구성법이 임의의 ∞-토이 위에 스택을 이룬다는 것을 보여주는 것.
• ∞-카테고리의 맥락에서 이러한 구성법이 작은 극한에 대해 연속성이 되는 프레임워크를 개발하는 것.
• 모든 ∞-토이를 통해 내부 카테고리의 총 ∞-카테고리 ∫css_k를 통해 고차 카테고리와 스파나의 연구를 통합하는 것.
• 내부 카테고리에 대한 반복 스파나의 할당이 연속적이며, 고차 카테고리 기하학에 필수적인 강하 성질을 보장함을 보여주는 것.

제안 방법

• ∞-토이 X와 고차 내부 카테고리 X•,…,•의 쌍 (X, X•,…,•) 을 포괄하는 함수 X ↦ css_k(X)의 린스 콜리미트(비틀림을 통한)로서 총 ∞-카테고리 ∫css_k를 구성한다.
• ∫css_k 내의 극한이 구성된 ∞-카테고리의 성질(예: 칸 확장, 동반 가능성)을 유지함을 증명하여 리헬-버티의 (코)극한 결과를 일반화한다.
• 할당 (X, X•,…,•) ↦ Span_k(X, X•,…,•) 가 총 ∞-카테고리 ∫css_k 내에서 연속적(작은 극한을 보존)임을 보여준다.
• Span_k의 연속성을 활용하여, 연속 함수 σ: X^{op} → ∫css_k에 대해 U ↦ Span_k(X_{/U}, σ(U)) 할당이 임의의 ∞-토이 X 위에 ∞-스택을 이룬다는 것을 유도한다.
• 강하를 적용하여 고차 내부 카테고리의 스택과 반복 스파나의 스택이 에탈 커버에 대해 층 조건을 만족함을 보여준다.
• ∞-토이 이론에서의 코카르티esian 섹션과 당김을 활용하여, 커버 상의 국소 자료를 ∞-스택 성질을 통해 전역 구성과 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ∞-토이 내 고차 내부 카테고리 구성법이 강하 조건을 만족하는가, 즉 ∞-토이의 ∞-카테고리 위에 스택을 이룬다 할 수 있는가?
• RQ2 국소 체계를 갖춘 반복 스파나의 할당이 작은 극한에 대해 내부 카테고리의 고차 카테고리에 대해 연속적인가?
• RQ3 국소 자료의 연속 할당을 통해 반복 스파나의 구성이 ∞-토이 위에 ∞-스택으로 만들 수 있는가?
• RQ4 칸 확장과 동반 가능성 등의 성질이 ∞-카테고리의 극한을 통해 얼마나 잘 강하되는가?
• RQ5 내부 고차 카테고리와 반복 스파나의 상호작용을 강하 조건과 스택 조건을 지원하는 방식으로 어떻게 수학적으로 형식화할 수 있는가?

주요 결과

• ∞-토이 X에 대해 그 완전한 k중 세갈 객체의 ∞-카테고리 css_k(X)를 할당하는 할당 X ↦ css_k(X)는 ∞-토이의 ∞-카테고리 위에 스택을 이룬다.
• 총 ∞-카테고리 ∫css_k 내에서 할당 (X, X•,…,•) ↦ Span_k(X, X•,…,•) 는 연속적이며, 작은 극한을 보존한다.
• 임의의 연속 함수 σ: X^{op} → ∫css_k에 대해, 할당 U ↦ Span_k(X_{/U}, σ(U)) 는 X 위에 (∞,k)-스택을 정의한다.
• 특히, 고정된 X•,…,• ∈ css_k(X)에 대해, 할당 X_{/U} ↦ Span_k(X_{/U}, U × X•,…,•) 는 X 위에 (∞,k)-스택을 이룬다.
• 유도된 스파나의 복합은 스파나에 대해 연속적(대수적으로)이며, 특성 0인 체 위의 유도된 스택의 경우에 대해 보여진 바 있다.
• 이 프레임워크는 고차 카테고리와 반복 스파나에 대한 전역적이고 강하 호환 가능한 다루기 가능성을 제공하며, 고차 카테고리 이론과 수학적 물리학에의 적용을 지원한다.