[論文レビュー] The steady states of coupled dynamical systems compose according to matrix arithmetic

David I. Spivak|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2015

Chaos control and synchronization参考文献 9被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、行列演算（特に行列積、クロネッカー積、部分トレース）に従う行列として表現することにより、結合された力学系の定常状態を分析するための構成的枠組みを導入する。主な貢献は、開力学系から定常状態行列へのファンクター的写像を確立し、合成性を保つことで、大規模で相互接続された系を解析する際の計算複雑性を指数関数的に低減できることである。

ABSTRACT

Open dynamical systems are mathematical models of machines that take input, change their internal state, and produce output. For example, one may model anything from neurons to robots in this way. Several open dynamical systems can be arranged in series, in parallel, and with feedback to form a new dynamical system---this is called compositionality---and the process can be repeated in a fractal-like manner to form more complex systems of systems. One issue is that as larger systems are created, their state space grows exponentially. In this paper a technique for calculating the steady states of an interconnected system of systems, in terms of the steady states of its component dynamical systems, is provided. These are organized into "steady state matrices" which generalize bifurcation diagrams. It is shown that the compositionality structure of dynamical systems fits with the familiar monoidal structure for the steady state matrices, where serial, parallel, and feedback composition of matrices correspond to multiplication, Kronecker product, and partial trace operations. The steady state matrices of dynamical systems respect this compositionality structure, exponentially reducing the complexity involved in studying the steady states of composite dynamical systems.

研究の動機と目的

• 全状態空間を明示的に構築することなく、相互接続された力学系の定常状態を体系的に計算する手法を開発すること。
• 分岐図を、すべての入出力組み合わせの定常状態を符号化する行列形式に一般化すること。
• 直列、並列、フィードバックの合成を尊重する、開力学系から行列への構成的写像を確立すること。
• ブートストラップによる状態列挙ではなく行列演算を用いることで、大規模複合系の解析における計算複雑性を低減すること。

提案手法

• 各サブシステムの定常状態を、入出力設定ごとの固定点をリストアップする行列として表現する。
• 行列積を用いてシステムの直列合成をモデル化し、行列の要素が合成状態遷移を追跡する。
• 独立したサブシステムの並列合成を、それぞれの定常状態行列のクロネッカー積でモデル化する。
• フィードバックおよび信号リサイクルを、部分トレース演算を用いてモデル化する。
• ワイヤリング図の圏から行列の圏への構成的写像をファンクターとして形式化する。
• 合成を先に実行してから写像するのと、写像を先に実行してから行列演算で合成するのとで結果が一致することを、定理により確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定常状態の成分から、代数的演算を用いて複合力学系の定常状態を効率的に計算できるか？
• RQ2 力学系の直列、並列、フィードバックの合成は、標準的な行列演算とどのように対応するか？
• RQ3 分岐図を、合成性を保つ行列形式に一般化できるか？
• RQ4 ワイヤリング図のモノイダル構造を尊重する、開力学系から行列への構成的写像は存在するか？
• RQ5 この行列ベースのアプローチは、大規模力学系の解析における計算複雑性をどの程度低減できるか？

主な発見

• 複合系の定常状態行列は、直列接続の成分の行列を積算することで得られ、その結果は全系の実際の定常状態と一致する。
• システムの並列合成は、それらの定常状態行列のクロネッカー積に対応する。
• フィードバック合成は、複合系の定常状態行列に対する部分トレース演算によって記述される。
• 力学系から定常状態行列への写像はファンクター的であり、システムの接続構造において合成性が保たれる。
• 本手法により、計算複雑性が指数関数的に低減される：全可能な合成状態を列挙する代わりに、行列演算により計算が可能である。六つの直列に接続されたシステムの例でこれを示した。
• 複合系 z の最終的な定常状態行列は、積 $\mathcal{S}\textnormal{tst}(w) \mathcal{S}\textnormal{tst}(x)^6 \mathcal{S}\textnormal{tst}(y)$ の部分トレースとして計算され、各入出力ペアごとの固定点の明示的集合が得られる。