[論文レビュー] The structure and labelled enumeration of K_{3,3}-subdivision-free projective-planar graphs

Andrei Gagarin, Gilbert Labelle+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2004

Advanced Graph Theory Research参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、射影平面に埋め込める2連結で非平面的かつ$K_{3,3}$-部分図形を含まないグラフについて、一意的な分解定理を確立し、$K_5$の辺を2連結平面グラフからの2端子ネットワークに置き換えることで構成されることを示している。主な貢献は、このクラスに属するラベル付きグラフの生成関数に基づく列挙法であり、辺数の上限の導出に加え、系列並列ネットワークを用いた位相同型に分解不能なグラフの列挙も行われている。

ABSTRACT

We consider the class F of 2-connected non-planar K_{3,3}-subdivision-free graphs that are embeddable in the projective plane. We show that these graphs admit a unique decomposition as a graph K_5 (the core) where the edges are replaced by two-pole networks constructed from 2-connected planar graphs. A method to enumerate these graphs in the labelled case is described. Moreover, we enumerate the homeomorphically irreducible graphs in F and homeomorphically irreducible 2-connected planar graphs. Particular use is made of two-pole directed series-parallel networks. We also show that the number m of edges of graphs in F with n vertices satisfies the bound m <=3n-6, for n >= 6.

研究の動機と目的

• 射影平面に埋め込める2連結で非平面的かつ$K_{3,3}$-部分図形を含まないグラフの構造を特徴づけること。
• ネットワーク置換と生成関数を用いて、このようなグラフのラベル付き列挙法を開発すること。
• このクラスのグラフにおける辺数の上界を導出し、平面グラフと類似した形で与えること。
• 系列並列ネットワークを用いて、このクラスに属する位相同型に分解不能なグラフを列挙すること。
• フレームワークを連結グラフへ拡張し、漸近的挙動と非ラベル付き列挙を検討すること。

提案手法

• 構造定理により、このクラス$\mathcal{F}$は、2連結平面グラフからの2端子ネットワークに置き換えられた$K_5$に同型であり、$\mathcal{F} = K_5 \uparrow \mathcal{N}_P$と表現できる。
• ラベル付き列挙には、混合指数的生成関数$\mathcal{G}(x,y) = \sum_{n,m} g_{n,m} y^m \frac{x^n}{n!}$を用い、$g_{n,m}$は$n$頂点と$m$辺を持つグラフの数を表す。
• 辺置換操作は関数方程式$(\mathcal{G} \uparrow \mathcal{N})(x,y) = \mathcal{G}(x, \mathcal{N}(x,y))$により形式化され、生成関数の再帰的計算が可能になる。
• 系列並列ネットワークを構成要素とし、$\mathrm{Leg}(x,y) = 2yx + y^2x^2$のような演算子を用いてネットワークの合成と端子の追加をモデル化する。
• 関数方程式$B(x,y) = H(x, R(x,y))$の形を持つ方程式を解くための新しい反復スキームを導入し、位相同型に分解不能なグラフの生成関数の計算を可能にした。
• 極の次数が4以上であるネットワークのクラス$\mathcal{N}_\ell$は、$\mathcal{N}_\ell = (1 + \mathrm{Leg}) \left( \sum_{k \geq 0} (y\mathrm{Leg})^k \right) \mathcal{N}_{H_P}$で定義され、これにより次数2以上の極を持つネットワークが可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 射影平面に埋め込める2連結で非平面的かつ$K_{3,3}$-部分図形を含まないグラフの、一意的な構造的分解は何か？
• RQ2 このようなグラフは、生成関数を用いてラベル付きでどのように列挙できるか？
• RQ3 このようなグラフが有する辺数の最大値は何か？平面グラフと比較するとどうなるか？
• RQ4 このクラスに属する位相同型に分解不能なグラフは、どのように列挙できるか？
• RQ5 このフレームワークは連結グラフへ拡張可能か？非ラベル付き列挙についても検討可能か？

主な発見

• 2連結で非平面的かつ$K_{3,3}$-自由な射影平面グラフのクラス$\mathcal{F}$は、一意的に$K_5$の辺を2連結平面グラフからの2端子ネットワークに置き換えたものとして分解可能であり、$\mathcal{F} = K_5 \uparrow \mathcal{N}_P$と表現できる。
• クラス$\mathcal{F}$に属するグラフの辺数$m$は、$n \geq 6$のとき$m \leq 3n - 6$を満たし、平面グラフの辺数上限と類似している。
• クラス$\mathcal{F}$に属する位相同型に分解不能なグラフの生成関数$H_{\mathcal{F}}(x,y)$は、$H_{\mathcal{F}}(x,y) = \frac{x^5 (\mathcal{N}_\ell(x,y) + y)^{10}}{5!}$で与えられ、ここで$\mathcal{N}_\ell(x,y)$は$\mathcal{N}_{H_P}(x,y)$と端子演算子から導出される。
• 極の次数が4以上であるネットワークのクラス$\mathcal{N}_\ell$の生成関数は、$\mathcal{N}_\ell(x,y) = \frac{1 + \mathrm{Leg}(x,y)}{1 - y\,\mathrm{Leg}(x,y)} \mathcal{N}_{H_P}(x,y)$で与えられ、$\mathrm{Leg}(x,y) = 2yx + y^2x^2$である。
• 頂点数$n$が5から20のラベル付き連結非平面的$K_{3,3}$-自由な射影平面グラフの数が提供されており、$n=5,6,7,8$のそれぞれに対し1, 150, 16800, 1809360の値が得られている。
• 漸近的解析により、ラベル付き非平面的$K_{3,3}$-自由な射影平面グラフは、その平面グラフの類似と同一の成長定数を持つことが示され、類似した漸近的挙動を示していることが判明した。