[論文レビュー] The Szlenk index and local l_1-indices

Dale E. Alspach, Robert P. Judd+1 more|ArXiv.org|Sep 29, 2000

Advanced Topics in Algebra参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ℓ₁ がバナッハ空間に埋め込まれない場合に、Szlenk 指数と一致することが示される新しい局所的 ℓ₁-インデックス（特に ℓ₁⁺-弱収束しないインデックス）を導入する。著者らは、これらのインデックスが形式 ω^α の可算順序型であることを確立し、C(ω^ω^α) の ℓ₁⁺-弱収束しないインデックスが ω^{1+α+1} に等しいことを証明する。これにより、古典的インデックス理論とバナッハ空間の局所構造が結びつけられる。

ABSTRACT

We introduce two new local l_1-indices of the same type as the Bourgain l_1 index; the l_1^+-index and the l_1^+-weakly null index. We show that the l_1^+-weakly null index of a Banach space X is the same as the Szlenk index of X, provided X does not contain l_1. The l_1^+-weakly null index has the same form as the Bourgain l_1 index: if it is countable it must take values omega^alpha for some alpha

研究の動機と目的

• バナッハ空間における Bourgain の ℓ₁-インデックス枠組みを拡張する新しい局所的 ℓ₁-インデックス（ℓ₁⁺-インデックス、ℓ₁⁺-ブロック基底インデックス、ℓ₁⁺-弱収束しないインデックス）を定義し、それらを研究すること。
• ℓ₁ が埋め込まれない場合に、Szlenk 指数と局所的 ℓ₁-構造との関係を明確にすること。
• 特に C(ω^ω^α) や一般化された Schreier 空間 X_α を含む特定の空間に対して、ℓ₁⁺-弱収束しないインデックスを計算すること。
• ℓ₁ を含まない空間に対して、ℓ₁⁺-弱収束しないインデックスが Szlenk 指数に等しいことを確立すること。
• ℓ₁⁺-インデックスが形式 ω^α の可算順序型であることを示し、それらを強収縮性と超収縮性と結びつけること。

提案手法

• 特に弱収束する列とブロック基底の木に注目して、バナッハ空間上の木を用いて新しいインデックスを定義する。
• 木の順序と導出木 T^α の概念を用い、ℓ₁⁺-弱収束しないインデックスを、T^α が空集合になる最小の α として定義する。
• ブロック列の挙動を模倣し、木構造を保つために、置換木 T(m) と制限木 R(S) を構成する。
• 一般化された Schreier 空間 X_n における ω^{n+1} 順序の木を解析するため、順序数 α < ω₁ における帰納的議論を適用する。
• ℓ₁⁺ と ℓ_∞⁺ インデックスの双対性を用いて、基底の縮小性と有界完備性を関連付ける。
• ポーランド空間上の閉じた木の概念を適用し、整列木が可算順序を持つことを保証することで、順序数解析を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℓ₁ が埋め込まれないバナッハ空間において、新しい ℓ₁⁺-インデックスは古典的 Szlenk 指数とどのように関係するか？
• RQ2 α < ω₁ のとき、空間 C(ω^ω^α) の ℓ₁⁺-弱収束しないインデックスの正確な値は何か？
• RQ3 ℓ₁⁺-インデックスを用いて、順序数インデックスの観点から、収縮性と超収縮性を特徴づけることができるか？
• RQ4 ℓ₁⁺-ブロック基底インデックスとバナッハ空間における基底の縮小性の間にはどのような関係があるか？
• RQ5 一般化された Schreier 空間 X_α における帰納的構成において、インデックスはどのように振る舞うか？

主な発見

• バナッハ空間 X に対して、ℓ₁ が X に埋め込まれない場合、ℓ₁⁺-弱収束しないインデックスは X の Szlenk 指数に等しい。
• ℓ₁⁺-弱収束しないインデックスは、ある α < ω₁ に対して形式 ω^α の値をとり、その順序数的性質が裏付けられる。
• 空間 C(ω^ω^α) に対して、ℓ₁⁺-弱収束しないインデックスは ω^{1+α+1} に等しく、インデックスの正確な計算が得られる。
• ℓ₁⁺-インデックスが可算であることは、空間が収縮的であることと同値であり、ω に等しいことは、空間が超収縮的であることと同値である。
• ℓ₁⁺-ブロック基底インデックスは基底の縮小性を測るものであり、基底が縮小的であるとき、その値はある α < ω₁ に対して ω^α に等しい。
• 制限木と置換木によるブロック列の構成により、一般化された Schreier 空間上での ℓ₁⁺-インデックスが帰納的に計算可能であることが保証される。