[論文レビュー] The Vertex Reinforced Jump Process and a Random Schrödinger operator on finite graphs

Christophe Sabot, Pierre Tarrès+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2015

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、逆ガウス分布を一般化する新しい多次元指数型分布を導入し、グラフ上のランダムシュレーディンガー作用素と関連づける。この作用素は、分散のないポテンシャルを持つ。主な貢献は、ディアコニスが提起した長年の問題である、ERRWの混合測度の正規化定数の直接計算を、混合場が作用素のグリーン関数に等しいことを示すことによって達成したことである。これにより、カップリングや関数極限定理が可能になる。

ABSTRACT

We introduce a new exponential family of probability distributions, which can be viewed as a multivariate generalization of the Inverse Gaussian distribution. Considered as the potential of a random Schrödinger operator, this exponential family is related to the random field that gives the mixing measure of the Vertex Reinforced Jump Process (VRJP), and hence to the mixing measure of the Edge Reinforced Random Walk (ERRW), the so-called magic formula. In particular, it yields by direct computation the value of the normalizing constants of these mixing measures, which solves a question raised by Diaconis. The results of this paper are instrumental in [Sabot-Zeng,2015], where several properties of the VRJP and the ERRW are proved, in particular a functional central limit theorem in transient regimes, and recurrence of the 2-dimensional ERRW.

研究の動機と目的

• 有限グラフ上でのランダムシュレーディンガー作用素と関連する、逆ガウス分布を一般化する新しい多次元指数型分布を定義すること。
• VRJPの混合測度と、特定のランダムポテンシャルを持つランダムシュレーディンガー作用素のグリーン関数との関係を確立すること。
• ディアコニスが提起した、ERRWの混合測度の「魔法の公式」における正規化定数の直接計算という未解決問題を解決すること。
• 異なる初期点から出発するVRJPの混合場のカップリングを可能にする枠組みを提供すること。
• 無限グラフへの結果の拡張、特に恒久的状態における再帰性や関数中心極限定理の基礎を築くこと。

提案手法

• グラフのコンダクタンスを符号化する行列$P$を用いて、$2\beta - P$の行列式比を用いる正のベクトル$\beta$上の確率測度の新しい指数型分布を導入する。
• ポテンシャル$V = 2\beta - W$を有するランダムシュレーディンガー作用素$H_\beta = -\Delta^W + V$を定義し、ほとんど確実に正定値であることを保証する。
• VRJPの混合場$e^{u_j}$が、$G = (H\_\beta)^{-1}$がグリーン関数であるとき、$G(i_0, j)/G(i_0, i_0)$に従うことを証明する。
• 時間スケーリング変換を用いてVRJPを初期局所時刻が1に等しい過程に変換し、[14]の既知の結果の適用を可能にする。
• 指数型分布のラプラス変換を導出し、周辺分布が逆ガウス分布であり、場が距離2で非相関性を示すことを示す。
• 再帰的LU分解を用いて行列式を解析し、定理1における正規化恒等式を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エッジ強化ランダムウォーク（ERRW）の混合測度の正規化定数は、ディアコニスが提起したように直接計算可能か？
• RQ2 ボトムアップ強化ジャンプ過程（VRJP）の混合測度は、特定のランダムポテンシャルを持つランダムシュレーディンガー作用素のグリーン関数とどのように関係するか？
• RQ3 VRJPおよびERRWから生じるランダムポテンシャルの指数型分布の構造は何か？また、これは逆ガウス分布をどのように一般化するか？
• RQ4 ランダムシュレーディンガー作用素の枠組みを用いて、異なる初期点から出発するVRJPの混合場をカップリング可能か？
• RQ5 この表現は、VRJPおよびERRWの長期的挙動、たとえば再帰性や関数中心極限定理にどのような意味を持つのか？

主な発見

• ERRWの混合測度の正規化定数は、恒等式\[ \int \mathbf{1}_{2\beta - P > 0} e^{-\langle \theta, \beta \rangle} \frac{d\beta}{\sqrt{|2\beta - P|}} = \exp\left(-\sum_{\{i,j\}\in E} W_{i,j} \sqrt{\theta_i \theta_j}\right) \prod_i \frac{1}{\sqrt{\theta_i}} \] を用いて直接計算可能である。
• VRJPの混合場$e^{u_j}$は、$G = (H_\beta)^{-1}$がランダムシュレーディンガー作用素$H_\beta = -\Delta^W + (2\beta - W)$のグリーン関数であるとき、$G(i_0, j)/G(i_0, i_0)$に従う。
• シュレーディンガー作用素におけるランダムポテンシャル$2\beta - W$は、距離2で非相関性を示すことが判明し、指数型分布の重要な構造的性質である。
• $\beta_i$の周辺分布は、パrameters$\left(\frac{1}{\sum_{j\sim i} W_{i,j} \sqrt{\theta_i \theta_j}}, 1\right)$を持つ逆ガウス分布である。これは、逆ガウス分布の多次元一般化を確認する。
• この枠組みにより、同じ作用素のグリーン関数に結びつけることで、異なる初期頂点から出発するVRJPの混合場のカップリングが可能になる。
• 本結果は[16]において、$d \geq 3$における弱強化状態でのVRJPおよびERRWの関数中心極限定理の導出や、2次元ERRWの再帰性の証明に不可欠な役割を果たしている。