[論文レビュー] Theory of the strongly-damped quantum harmonic oscillator

Stephen M. Barnett, James D. Cresser+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2015

Mechanical and Optical Resonators参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、強い減衰を示す量子調和振動子とその環境のハミルトニアンの正確な対角化を提示し、その定常状態の性質、もつれ、動的挙動が、単一の周波数確率密度関数によって完全に特徴付けられることを明らかにした。主な結果は、弱い結合近似に依存しない、基底状態の周波数スペクトルであり、これは振動子の挙動を定量的に記述するものである。

ABSTRACT

We analyse the properties of a strongly-damped quantum harmonic oscillator by means of an exact diagonalisation of the full Hamiltonian, including both the oscillator and the reservoir degrees of freedom to which it is coupled. Many of the properties of the oscillator, including its steady-state properties and entanglement with the reservoir can be understood and quantified in terms of a simple probability density, which we may associate with the ground-state frequency spectrum of the oscillator.

研究の動機と目的

• 全系-環境ハミルトニアンの正確な対角化を通じて、強い減衰を示す量子調和振動子を正確に取り扱うことを目的とする。
• 回転波近似やマコフ近似といった標準的な近似手法の限界を克服し、強い結合領域で成立しない問題を解消することを目的とする。
• 古典的減衰振動子に類似した、単純で物理的に直感的な振動子の挙動の記述を回復することを目的とする。
• 定常状態、エネルギー、環境とのもつれを、単一の周波数確率密度関数を用いて定量的に記述することを目的とする。
• グリーン関数手法とは補完的な枠組みを確立し、非マコフ的量子力学的挙動をより完全に理解できる基盤を提供することを目的とする。

提案手法

• 振動子とその環境の自由度を含む全ハミルトニアンの正確な対角化を実行する。
• 周波数でパラメータ化された連続的基底の演算子 $\hat{B}(\omega)$ と $\hat{B}^\dagger(\omega)$ を導入し、係数 $\alpha(\omega)$, $\beta(\omega)$, $V(\omega)$ およびカーネル関数 $\gamma(\omega,\omega')$, $\delta(\omega,\omega')$ を用いる。
• 演算子係数のための連立積分方程式を導出し、主値積分とデルタ関数の正則化を用いて解く。
• 正準交換関係 $[\hat{B}(\omega), \hat{B}^\dagger(\omega')] = \delta(\omega - \omega')$ を満たすように、正規化関数 $\alpha(\omega)$ を決定する。
• $\alpha(\omega)$ を環境結合関数 $V(\omega)$ と、カーネル構造から導かれる実関数 $Y(\omega)$ を用いて表現する。
• 周波数確率密度関数を $|\alpha(\omega)|^2$ として定義し、これは単位に積分され、すべての定常状態および動的性質を支配する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱い結合近似に依存しない、強い減衰を示す量子調和振動子の動的挙動をどのように正確に記述できるか？
• RQ2 環境の周波数スペクトルが、振動子の定常状態およびもつれの性質をどのように決定するか？
• RQ3 単一の確率密度関数が、強力な減衰領域における振動子の基底状態周波数分布を完全に特徴づけられるか？
• RQ4 マコフ近似の失敗が、強い結合系におけるマスター方程式の有効性にどのように影響するか？
• RQ5 強力な減衰極限における全ハミルトニアンを対角化するための演算子代数の構造はどのようなものか？

主な発見

• 振動子の定常状態の性質は、すべて単一の正の周波数確率密度関数 $|\alpha(\omega)|^2$ によって完全に決定され、その積分は1に等しい。
• 関数 $|\alpha(\omega)|^2$ は、$\frac{(\omega + \omega_0)^2}{\omega_0^2 |V(\omega)|^2} \cdot \frac{1}{Y^2(\omega) + \pi^2}$ として導出され、ここで $Y(\omega)$ は環境結合および周波数構造に依存する。
• 振動子の基底状態はフォック状態ではなく、連続的な周波数スペクトル上の重ね合わせであり、確率密度がすべての関連物理的情報を符号化している。
• 振動子と環境とのもつれは、同じ $|\alpha(\omega)|^2$ 関数によって定量的に記述され、これは結合の非マコフ的性質を反映している。
• 強い結合領域で生じる近似マスター方程式における非物理的結果（例えば負の確率）を回避する。
• 係数 $\alpha(\omega)$ の位相の選び方は任意であるが、便利な正規化により $\alpha(\omega) = \frac{\omega + \omega_0}{\omega_0 V^*(\omega)} \cdot \frac{1}{Y(\omega) - i\pi}$ と設定できる。