[論文レビュー] Thom polynomials of Morin singularities

Gergely Bérczi, András Szenes|ArXiv.org|Aug 11, 2006

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 15被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、複素多様体間の写像germの特定のタイプであるモーリン特異点のトム多項式を、等長コホモロジーおよびフラッグ多様体内の軌道閉包を用いて計算する。主な貢献は、対称多項式および相対チャーン類を用いて表される、タイプ$ A_d $のモーリン特異点のトム多項式の完全な公式の提示であり、特異点軌道の解消におけるボレル固定点技法と等長ペコアリューディティを用いた明示的計算によって得られる。

ABSTRACT

We prove a formula for Thom polynomials of Morin (or A_d) singularities in any codimension. We use a combination of the test-curve method of Porteous, and the localization methods in equivariant cohomology. Our formulas are independent of the codimension, and they are computationally efficient for d less than 7.

研究の動機と目的

• モーリン特異点のトム多項式を計算すること。これは、正則写像における特異点集合の余次元を分類する。
• 相対チャーン類における対称多項式を用いて、$ A_d $ モーリン特異点のトム多項式の普遍的公式を確立すること。
• 特異点軌道の解消における等長コホモロジーおよびボレル固定点技法を用いた、トム多項式の計算手法を開発すること。
• トム多項式をフラッグ多様体内の軌道閉包の幾何と、写像germに関連する冪零代数の構造と関連付けること。

提案手法

• 著者たちは、特異点集合のコホモロジー双対を計算する枠組みとして等長コホモロジーを用い、$ H^*(N, \mathbb{C}) $ 内の特徴的類として特定する。
• 特異点軌道を解消するために、フィルトレーション付きフラッグをパラメトライズするフラッグ多様体$ \widetilde{\mathcal{E}} $を構成し、最大トーラス$ T $の作用を用いて固定点を解析する。
• 主な技術的道具は、座標環$ \mathbb{C}[u^{\bullet}] $における単項式基底を用いた局在化による、軌道閉包$ \mathcal{O} \subset \widetilde{\mathcal{E}} $の等長ペコアリューディティ双対の同定である。
• 特異点軌道内に唯一の$ T $-固定点を持つようにパrameter化するための区別された分割列$ \boldsymbol{\pi}_{\mathrm{dst}} $を定義し、これにより等長類$ \widehat{Q}_d $の計算を可能にする。
• 線形部分空間$ \widehat{\mathcal{N}}_d \subset \mathcal{N}_{\mathrm{dst}} $を構成し、射影$ \widehat{\mathrm{pr}} $を用いて問題をより単純な座標系に還元する。
• 最終的なトム多項式は、適切な変数変換の下で等長類$ \widehat{Q}_d $の像として回復され、相対チャーン類を用いて表現される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 タイプ$ A_d $のモーリン特異点、すなわち$ d $番目のモーリン特異点のトム多項式は何か？
• RQ2 フラッグ多様体内の軌道閉包の等長コホモロジーは、特異点集合のペコアリューディティ双対を計算するためにどのように用いられるか？
• RQ3 軌道閉包$ \mathcal{O} \subset \widetilde{\mathcal{E}} $を定義するイデアル$ I_{\mathcal{O}} $の構造は何か？また、これはトム多項式とどのように関係するか？
• RQ4 基準フラッグの選択とそれに対応する$ T $-固定点は、等長類の計算をどのように簡略化するか？

主な発見

• タイプ$ A_d $のモーリン特異点のトム多項式は、明示的に$ \mathrm{Tp}_{A_d}^{n \to k} = \mathrm{TD}_A^j(c_1, c_2, \dots) $として与えられ、ここで$ j = k - n $であり、$ \mathrm{TD}_A^j $は相対チャーン類における普遍多項式である。
• フラッグ多様体内の軌道閉包$ \mathcal{O}_{\mathrm{dst}} \subset \mathcal{N}_{\mathrm{dst}} $の等長ペコアリューディティ双対は$ \widehat{Q}_d $として計算され、これは座標$ \hat{u}_{mr}^l $における次数$ d(d+1)/2 $の同次多項式である。
• 軌道閉包のイデアル$ I_{\mathcal{O}} $は、$ \mathbb{C}[u^{\bullet}] $における単項式として明示的に記述された関係式$ \mathrm{Rel}(\boldsymbol{\rho}, \tau, \dots) $によって生成される。
• 計算は、基準フラッグ$ \mathbf{f}_{\mathrm{ref}} $とその関連する$ T $-固定点$ \tilde{\varepsilon}_{\mathrm{ref}} $の標準的選択に依存しており、これにより局在化プロセスが簡略化される。
• 最終的なトム多項式の公式は、等長類$ \widehat{Q}_d $を線形部分空間$ \widehat{\mathcal{N}}_d $に制限することによって得られ、接バンドルおよび引き戻し接バンドルのチャーン類における対称多項式として得られる。
• この方法により、トム多項式が余次元$ j = k - n $にのみ依存することを確認でき、相対チャーン類の一般理論と整合的である。