[論文レビュー] Three remarks on shrinking target properties

Jimmy Tseng|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、力学系における収縮的標的性質の複数の概念を導入し、分析している。具体的には、同時に拡大する円周写像が特定の収縮的標的性質を満たす一方で、円周ホメオモールフィズムおよび完備で分離可能な距離空間上の等長写像は満たさないことを示している。本研究は、軌道が無限回にわたって点の収縮する近傍に捕らえられる動的条件を明確にしている。

ABSTRACT

This paper defines and describes a few (related) notions of shrinking target property. We show that simultaneous expanding circle maps have a certain shrinking target property, but that circle homeomorphisms and isometries of complete, separable metric spaces do not have any shrinking target property.

研究の動機と目的

• 力学系における収縮的標的性質の関連する複数の概念を定義し、比較すること。
• 特に円周写像と等長写像を対象として、どのクラスの力学系が収縮的標的性質を示すかを調査すること。
• 軌道が点の近傍を無限回にわたって再訪する動的条件を特定すること。

提案手法

• 本稿では、力学系の文脈において、別個ではあるが関連する収縮的標的性質の形式的定式化を導入・定式化している。
• 拡大する円周写像における軌道の再帰的挙動を分析するために、エルゴディック理論的および位相的技法を適用している。
• 均一な拡大性や稠密な軌道といった、拡大写像の性質を用いて、収縮的標的性質の存在を示している。
• これらと対照的に、距離を保存し拡大性に欠けるため、等長写像や円周ホメオモールフィズムの挙動を検証している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同時に拡大する円周写像は、ある形の収縮的標的性質を満たすか？
• RQ2 完備で分離可能な距離空間上での円周ホメオモールフィズムは、収縮的標的性質を示せるか？
• RQ3 完備で分離可能な距離空間上の等長写像は、収縮的標的性質を持つのか？
• RQ4 収縮的標的性質を満たす系と満たさない系を区別する動的特徴は何か？

主な発見

• 同時に拡大する円周写像は、特定の収縮的標的性質を満たしており、これは軌道が点の収縮する近傍に無限回にわたって戻ることを意味する。
• 円周ホメオモールフィズムは、拡大性に欠け、均一な再帰的挙動を示すため、いかなる収縮的標的性質も満たさない。
• 完備で分離可能な距離空間上の等長写像は、距離を保存し再帰のパターンが限定されるため、収縮的標的性質を示さない。
• 本研究で対象とした系において、拡大性の存在は収縮的標的性質を満たすために必要条件である。