[論文レビュー] Time-domain response of nabla discrete fractional order systems

Yiheng Wei, Qing Gao+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2018

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 28被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、N変換および離散ミタグレフラー関数を用いて、非ゼロ初期条件を有するナブラ離散分数階系の時間領域応答の存在および一意性を確立する。明示的な解析解を導出し、収束性、単調性、オーバーシュート行動を含むゼロ入力忤応のダイナミクスを体系的に分析し、さまざまな分数量およびパラメータにおける数値シミュレーションによって検証する。

ABSTRACT

This paper investigates the time--domain response of nabla discrete fractional order systems by exploring several useful properties of the nabla discrete Laplace transform and the discrete Mittag--Leffler function. In particular, we establish two fundamental properties of a nabla discrete fractional order system with nonzero initial instant: i) the existence and uniqueness of the system time--domain response; and ii) the dynamic behavior of the zero input response. Finally, one numerical example is provided to show the validity of the theoretical results.

研究の動機と目的

• 非ゼロ初期条件を有するナブラ離散分数量系の時間領域応答に関する体系的分析の不足に対処すること。
• ナブラ離散ラプラス変換および離散ミタグレフラー関数の基本的性質を確立すること。
• N変換フレームワークを用いて、系応答の明示的解析解を導出すること。
• 収束性、単調性、オーバーシュートなどの動的特性をゼロ入力忤応において調査すること。
• 異なる分数量および系パラメータにおける理論的予測の妥当性を数値シミュレーションによって検証すること。

提案手法

• 分数量系の時間領域応答を分析するために、N変換（ナブラ離散ラプラス変換）を用いる。
• 系の解析解を表現する際のコアな要素として、離散ミタグレフラー関数を採用する。
• 離散ミタグレフラー関数の半群性質を応用して、スカラー分数量差分方程式の明示的解を導出する。
• 固有値の位置が複素平面における臨界円の相対的位置を分析することで、安定性および動的挙動の条件を導出する。
• 分数量 α ∈ (0,2] およびパラメータ λ, b₀, b₁ を変化させた数値シミュレーションを実施し、理論的予測の妥当性を検証する。
• 周波数領域表現から時間領域信号を再構成するために、逆N変換を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ゼロ初期条件を有するナブラ離散分数量系の時間領域応答が存在し、一意的であるための条件は何か？
• RQ2 分数量 α および系パラメータに応じて、ゼロ入力忤応の動的特性（収束速度、オーバーシュート、振動）はどのように変化するか？
• RQ3 固有値 λ の位置と、系応答の安定性または振動的挙動との関係は何か？
• RQ4 初期条件および系パラメータの選択が、系の過渡応答における単調性およびオーバーシュートに与える影響は何か？
• RQ5 離散ミタグレフラー関数を用いて表現された解析解は、数値的シミュレーションによって効果的に計算可能かつ検証可能か？

主な発見

• 非ゼロ初期条件を有するナブラ離散分数量系の時間領域応答は、N変換および離散ミタグレフラー関数の性質を用いて、存在および一意性が証明された。
• α ∈ (0,1] の場合、ゼロ入力応答の収束速度は α が大きくなるにつれて向上し、収束が遅く、連続時間分数量系に類似した挙動を示す。
• α ∈ [1,2] の場合、α の増加に伴い上昇時間が延長され、オーバーシュートが増加し、α が大きくなるにつれて振動が顕著になる。
• λ < 0 の場合、|λ| を増加させると収束が速くなり、オーバーシュートが減少するが、|λ| = 2^α cos^α(π/α) のとき、持続的な振動を示す。
• α ∈ (1, 1.7) の範囲で、b₁/b₀ ∈ [1,9] のとき、オーバーシュートが生じないことが示され、パラメータチューニング下で非振動的挙動の閾値 α_c が存在する可能性を示唆する。
• 理論的分析とシミュレーションの両方が、離散ミタグレフラー関数が複数のパrameter領域において系の過渡ダイナミクスを正確に特徴づけることを確認した。