[論文レビュー] Time evolution of ADM and CMC center of mass in general relativity

Christopher Nerz|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2013

Advanced Differential Geometry Research参考文献 14被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、漸近的にシュバルツシルトに近い時空において、定平均曲率（CMC） foliation による定義された重心が、時間発展に関してニュートン力学が予測する通りに正確に進化することを確立している：dz/dt = P/m、ここで P は線形運動量、m は質量である。本稿は、スカラー曲率に関する追加条件を要しないで、座標系における CMC 重心と ADM 重心が一致することを証明し、一般相対性理論における二大重心定義を統合し、ニュートン極限における動的整合性を確認した。

ABSTRACT

It is shown by several authors going back to Huisken-Yau that asymptotically Schwarzschildean time-slices possess a unique foliation by stable constant mean curvature (CMC) spheres defining the so-called CMC center of mass. We analyze how the leaves of this foliation evolve in time under the Einstein equations. More precisely, we prove that, asymptotically, their time evolution is a translation induced by the quotient of their linear momentum and mass, as to be expected from the corresponding Newtonian setting. In particular, the definitions of mass and linear momentum defined by Arnowitt-Deser-Misner (ADM) are compatible with the interpretation of the CMC foliation as the center of mass of the time-slice by Huisken-Yau. Furthermore, we prove that the coordinate version of the center of mass by Arnowitt-Deser-Misner and the coordinate version of the CMC center of mass coincide - without additional conditions on the scalar curvature. This is even true in the sense of existence, i.e. if one of the two exists then so does the other.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論のアインシュタイン方程式の下で、漸近的にシュバルツシルトに近い時空における CMC 重心の時間発展を確立すること。
• CMC 重心が dz/dt = P/m として発展することを証明し、ニュートン的期待と一致させること。
• スカラー曲率に関する追加条件なしに、座標系における CMC 重心と座標系における ADM 重心が一致することを示すこと。
• 一つの重心定義の存在が、もう一つの重心定義の存在を保証することを示すこと。

提案手法

• 漸近的にシュバルツシルトに近い超曲面による時空の foliation を用いて、CMC foliation の時間発展を分析する。
• CMC 球面上での安定性作用素とスペクトル解析を適用し、ユークリッド幾何へのずれを制御する。
• 計量、外的曲率、ラプス関数の漸近的展開と減衰推定を用いて、時間発展方程式を導出する。
• 人工的なローレンツ時空の構成を用いて、CMC foliation を表面積分を通じて ADM 重心に関連付ける。
• 大きな座標球面上での漸近的表面積分を用いて、CMC と ADM 重心を比較する。
• 計量およびその微分の 1+ε 階の減衰仮定を用いて、漸近的展開における誤差項を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般相対性理論において、CMC 重心はニュートンの公式 dz/dt = P/m が予測する通りに時間発展するか？
• RQ2 一般相対性理論において、スカラー曲率の対称性条件を課さずに、座標系における CMC 重心と座標系における ADM 重心は一致するか？
• RQ3 一つの重心定義の存在が、もう一つの重心定義の存在を保証するのに十分か？
• RQ4 CMC foliation の時間発展は、ADM 動量と質量によって特徴付けられるか？

主な発見

• CMC foliation の時間発展は、漸近的に P/m による平行移動であることが確認され、一般相対性理論におけるニュートン的期待が裏付けられた。
• スカラー曲率の漸近的反対称性を仮定しなくても、座標系における CMC 重心と座標系における ADM 重心は同一である。
• CMC 重心の存在は ADM 重心の存在を保証し、逆もまた然りである。
• CMC foliation の漸近的挙動は、ADM 動量と質量によって支配され、σ > σ₀ のとき O(1/σ^ε) の誤差境界を有する。
• 本稿は、一般相対性理論における重心のニュートン極限を厳密に正当化し、CMC と ADM 重心が c → ∞ の極限でニュートン的重心に収束することを確認した。
• 解析により、CMC foliation が物理的重心としての整合性を有することが確認され、ADM 定義およびニュートン力学と整合した。