[論文レビュー] Time Irreversibility Problem and Functional Formulation of Classical Mechanics

И. В. Волович|ArXiv.org|Jul 15, 2009

advanced mathematical theories参考文献 47被引用数 25

ひとこと要約

本稿では、単一粒子の分布関数に対するリウヴィル方程式を用いて、不可逆性を基本的な力学に組み込む関数的定式化を提案する。ニュートンの軌道に基づく方法とは異なり、この枠組みでは分布関数の非局在化を通じて自然に時間の不可逆性が現れ、ニュートンの運動方程式は短時間スケールにおける平均観測値の近似としてのみ導かれる。これにより、微視的レベルにおける長年の時間の不可逆性問題が解決される。

ABSTRACT

The time irreversibility problem is the dichotomy of the reversible microscopic dynamics and the irreversible macroscopic physics. This problem was considered by Boltzmann, Poincaré, Bogolyubov and many other authors and though some researchers claim that the problem is solved, it deserves a further study. In this paper an attempt is performed of the following solution of the irreversibility problem: a formulation of microscopic dynamics is suggested which is irreversible in time. A widely used notion of microscopic state of the system at a given moment of time as a point in the phase space and also a notion of trajectory does not have an immediate physical meaning since arbitrary real numbers are non observable. In the approach presented in this paper the physical meaning is attributed not to an individual trajectory but only to a bunch of trajectories or to the distribution function on the phase space. The fundamental equation of the microscopic dynamics in the proposed "functional" approach is not the Newton equation but the Liouville equation for the distribution function of a single particle. Solutions of the Liouville equation have the property of delocalization which accounts for irreversibility. It is shown that the Newton equation in this approach appears as an approximate equation describing the dynamics of the average values of the position and momenta. Corrections to the Newton equation are computed.

研究の動機と目的

• 微視的法則は時間反転対称であるが、巨視的挙動は不可逆であるという時間の不可逆性問題を、古典力学の基礎を再定義することで解決すること。
• 微視的力学が常に可逆でなければならないという従来の見解に挑戦し、不可逆性を根本的性質として持つ定式化を提案すること。
• 点粒子の軌道とニュートンの運動方程式を、位相空間上の分布関数を物理的実体として置き換えること。
• 分布関数の時間発展を記述するリウヴィル方程式が、自然に非局在化と不可逆的挙動を生じることを示すこと。

提案手法

• 位相空間における個々の軌道ではなく、位相空間上での確率分布関数 ρ(q,p,t) の時間発展として微視的力学を定式化する。
• ニュートンの運動方程式の代わりに、リウヴィル方程式 ∂ρ/∂t = - (p/m) ∂ρ/∂q を基本的な運動方程式として用いる。
• 反射壁を持つ一次元井戸型ポテンシャルにおけるリウヴィル方程式を、反射法を用いて解く。
• リーマン＝リーマンの補題を用いて、時間の経過とともに振動関数（例：e^{itp}）の運動量に関する積分が長時間において消えることを示し、不可逆的緩和を導く。
• 分布関数の長時間漸近挙動を解析し、均一分布およびマクスウェル型分布への収束を示す。
• 分布関数の一次モーメント（位置と運動量）の時間発展を計算することで、ニュートンの運動方程式への補正を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間の不可逆性を統計的仮定や粗視化を必要とせず、微視的力学の根本的性質として埋め込むことは可能か？
• RQ2 時間対称性を持つ形をとるリウヴィル方程式が、なぜ微視的レベルで不可逆的挙動を生じるのか？
• RQ3 この関数的定式化において、ニュートンの運動方程式とリウヴィル方程式の関係は何か？
• RQ4 確率的仮定や外部の粗視化を用いずに、分布関数の長時間極限が平衡状態への緩和を示せるか？
• RQ5 関数的定式化から生じるニュートンの運動方程式への補正は何か？また、それらは平均観測値の力学にどのように影響を与えるか？

主な発見

• リウヴィル方程式の解は位相空間における非局在化を示し、外部の仮定や粗視化を必要とせずに不可逆性の出現を説明できる。
• 座標分布 ρ_c(q,t) の長時間極限は点単位で均一分布 ρ_c(q,∞) = 1 に収束し、平衡状態への緩和を示している。
• 絶対値運動量分布 ρ_a(p,t) の長時間極限はマクスウェル型分布に収束する：lim_{t→∞} ρ_a(p,t) = (1/√π b)[e^{-(p−p₀)²/b²} + e^{-(p+p₀)²/b²}]。
• ニュートンの運動方程式は、短時間スケールにおける平均位置および運動量の時間発展の近似として導かれる。
• この枠組みにおいてリウヴィル方程式が基本的な運動方程式であることが示され、ニュートン力学はその極限的状態である。
• 補正項が明示的に計算され、分布関数の時間発展の非局在性に起因する古典的軌道からのずれが明らかになった。