[論文レビュー] Topological and simplicial models of identity types

Benno van den Berg, Richard Garner|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、弱ファクタリゼーション系に追加の整合性条件を導入することで、代入安定性の問題を解消するため、位相的および単体的圏における同一型のホモトピー論的モデルを導入する。経路対象圏を統一的フレームワークとして定義することで、Top および SSet における健全な圏的モデルを構築し、Martin-Löf 型理論の同一型に対する、初めての完全に整合的な単体的および位相的モデルを確立する。

ABSTRACT

In this paper we construct new categorical models for the identity types of Martin-Löf type theory, in the categories Top of topological spaces and SSet of simplicial sets. We do so building on earlier work of Awodey and Warren [2009], which has suggested that a suitable environment for the interpretation of identity types should be a category equipped with a weak factorization system in the sense of Bousfield--Quillen. It turns out that this is not quite enough for a sound model, due to some subtle coherence issues concerned with stability under substitution; and so our first task is to introduce a slightly richer structure, which we call a homotopy-theoretic model of identity types, and to prove that this is sufficient for a sound interpretation. Now, although both Top and SSet are categories endowed with a weak factorization system---and indeed, an entire Quillen model structure---exhibiting the additional structure required for a homotopy-theoretic model is quite hard to do. However, the categories we are interested in share a number of common features, and abstracting these leads us to introduce the notion of a path object category. This is a relatively simple axiomatic framework, which is nonetheless sufficiently strong to allow the construction of homotopy-theoretic models. Now by exhibiting suitable path object structures on Top and SSet, we endow those categories with the structure of a homotopy-theoretic model and, in this way, obtain the desired topological and simplicial models of identity types.

研究の動機と目的

• 弱ファクタリゼーション系を備えた圏における同一型の解釈における整合性問題、特に代入における安定性に関する問題を解決すること。
• 弱ファクタリゼーション系を強化することで、健全な解釈を保証する新たな圏的構造—同一型のホモトピー論的モデル—を導入すること。
• Top および SSet におけるこのようなモデルを支える共通の構造的特徴を特定し、統一的公理的フレームワークとしての経路対象圏を定義すること。
• Top および SSet が適切な経路対象構造を備えていることを示し、これによりホモトピー論的モデルの構築が可能になること。
• 位相的および単体的設定において、同一型の整合的モデルを体系的に構成する初の試みを行い、ホモトピー型理論の圏的基盤を前進させること。

提案手法

• 代入における安定性を保証するために、弱ファクタリゼーション系に整合性条件を追加した同一型のホモトピー論的モデルの概念を導入する。
• Top および SSet の本質的構造的特徴を捉える最小限の公理的フレームワークとしての経路対象圏を定義し、ホモトピー論的モデルの構築を可能にする。
• Quillen モデル構造と整合する経路空間ファイブレーションを用いて、位相空間の圏（Top）に経路対象構造を構築する。
• Kan ファイブレーションと標準的な経路空間構成を用いて、単体的集合の圏（SSet）に経路対象構造を構築する。
• 構築された Top および SSet における経路対象構造が、経路対象圏の公理を満たすことを検証し、これによりホモトピー論的モデルが誘導されることを示す。
• 得られたモデルを用いて、両圏における同一型を解釈し、整合性および代入における安定性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱ファクタリゼーション系を備えた圏において、代入に関する同一型の解釈における整合性問題はどのように解決できるか？
• RQ2 健全な同一型の圏的モデルを保証するために、弱ファクタリゼーション系に加えてどのような追加構造が必要か？
• RQ3 Top および SSet の本質的性質を捉える統一的公理的フレームワークを定義できるか？
• RQ4 Top および SSet の両方が、ホモトピー論的モデルを支える経路対象構造を備えているか？
• RQ5 得られた Top および SSet におけるモデルを用いて、Martin-Löf 型理論の同一型に対して完全に整合的な解釈を提供できるか？

主な発見

• 著者らは、代入における整合性問題を解消するため、必要十分な安定性条件を弱ファクタリゼーション系に追加した同一型のホモトピー論的モデルを導入する。
• 経路対象圏は、Top および SSet の共通の構造的特徴を捉える最小限の公理的フレームワークとして定義され、ホモトピー論的モデルの構築を可能にする。
• 位相空間の圏（Top）に、Quillen モデル構造と整合する経路空間ファイブレーションを用いた経路対象構造が成功裏に構築された。
• 単体的集合の圏（SSet）にも、Kan ファイブレーションと標準的な経路空間構成を用いた経路対象構造が構築された。
• これらの構築により、Top および SSet における同一型の完全に整合的なモデルが得られ、従来の代入安定性に関する問題が解決された。
• このフレームワークにより、位相的および単体的圏の両方が、Martin-Löf 型理論の同一型の健全で安定した解釈を支えることが示された。