[論文レビュー] A characterization of representable intervals

Michael A. Warren|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2009

Logic, programming, and type systems参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、対称的モノイダル閉圏における表現可能で厳密な区間を、それらが有限に双完全な2カテゴリカル構造を誘導するときの条件として同定することにより特徴づけている。本論文は、厳密な区間が表現可能であることと、上部および下部の元が生成元をなす分配的ラティスであることの必要十分条件であることを証明しており、代数的構造と2カテゴリカルな文脈におけるホモトピー的完全性を結びつけている。

ABSTRACT

In this note we provide a characterization, in terms of additional algebraic structure, of those intervals (certain cocategory objects) in a symmetric monoidal closed category E that are representable in the sense of inducing on E the structure of a finitely bicomplete 2-category. Several examples and connections with the homotopy theory of 2-categories are also discussed.

研究の動機と目的

• 対称的モノイダル閉圏における、有限に双完全な2カテゴリカル構造を誘導する厳密な区間対象を特徴づけること。
• そのような区間が良好なホモトピー的構造をもたらすための代数的条件を同定すること。
• 表現可能性の概念を、特に分配的性および上部・下部の元による生成というラティス論的性質と結びつけること。
• 弱い高次元区間およびそのモデル構造を研究するための基礎的枠組みを構築すること。
• 区間対象と2カテゴリカルなモデル構造の間の関係、特にオペラッドの文脈における関係を探索すること。

提案手法

• 対称的モノイダル閉圏 E における厳密な区間を、コカテゴリー的対象として定義し、テンソル単位 U をコ対象の対象として用いる。
• そのような区間によって誘導されるセスクイカテゴリー構造を導入し、モノイダル構造がカルテジアンである場合にはそれが2カテゴリに拡張されることを示す。
• 有限に双完全（すべての有限擬極限および擬余極限の存在）という2カテゴリカルな概念を用いて、表現可能な区間を特徴づける。
• E における押し出しと引き込みの普遍性を用いて、誘導される2カテゴリの構造写像を定義する。
• 内部自己関手とテンソル積を用いて、区間の代数的構造を表現し、特にコモノイドおよびラティス演算を用いる。
• 区間が表現可能である場合に、Berger と Moerdijk の結果を用いて、縮小されたオペラッドのモデル構造を上げることを適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 厳密な区間対象が有限に双完全な2カテゴリカル構造を誘導するための代数的条件は何か？
• RQ2 区間上の分配的ラティス構造は、2カテゴリカルな意味での表現可能性とどのように関係するか？
• RQ3 上部および下部の元が表現可能性において果たす生成子としての役割は何か？
• RQ4 表現可能な区間は、2カテゴリおよびオペラッドの圏上のモデル構造とどのように関係するか？
• RQ5 代数的構造の観点から、厳密な区間は、位相的または単体的単位区間のような弱い高次元区間とどのように異なるか？

主な発見

• 対称的モノイダル閉圏 E における厳密な区間 I が表現可能（すなわち、有限に双完全な2カテゴリカル構造を誘導する）であるための必要十分条件は、I が上部および下部の元を備えた分配的ラティスであり、それらがラティス構造を生成することである。
• 区間の表現可能性は、可換ホープ・オブジェクトとしての適合する余乗法、乗法、およびラティス演算が、分配的ラティス構造を満たす公理系を満たすことに等しい。
• 閉区間 [0,1] および単体的区間 Δ[1] は、この意味では厳密な区間対象ではない。これらは厳密なコカテゴリー公理を満たさないため、代わりに弱い ω-区間とみなされるべきである。
• 区間が表現可能である場合、E に誘導される2カテゴリカル構造は有限に双完全となり、Lack の結果（カテゴリカル同値を弱い同値とし、同型ファイブレーションをファイブレーションとするモデル構造）を適用可能にする。
• E 上の縮小されたオペラッドの圏におけるモデル構造は、区間が表現可能で、モデル構造がモノイダルである限り、Berger と Moerdijk の定理を用いて持ち上げられる。
• 本論文は、表現可能性が、上部および下部の元が生成元であるユニタルな分配的ラティスであることと同値であり、この構造が誘導される2カテゴリにすべての有限擬極限および擬余極限の存在を保証することを確立している。