[論文レビュー] Topological groups and invariant measures

Yury A. Neretin|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2015

advanced mathematical theories参考文献 53被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、局所コンパクト群上のハール測度の存在と性質に焦点を当て、位相的群と不変測度に関する包括的な講義形式の解説を提供している。ハール測度の存在について複数の証明を提示し、モジュラ係数、同次空間上の不変測度、グラスマンニアンや直交群への応用を検討するとともに、逆極限、仮想置換、ガウス測度といった高度なトピックもカバーしている。

ABSTRACT

Lecture notes in Russian. Topics: the Haar measure (abstract theorems and explicit descriptions for different groups), measures on infinite-dimensional spaces with large natural groups of symmetries (Gaussian measures, Poisson measures, virtual permutations, inverse limits of unitary groups), zoo of examples of topological groups, generalities for large (infinite-dimensional) groups, polymorphisms.

研究の動機と目的

• 可算基底をもつ位相的群の基礎的理論とその局所コンパクト構造を確立すること。
• 局所コンパクト位相的群に左不変なハール測度が存在し、一意的（スカラー倍を除く）であることを証明すること。
• モジュラ係数および同次空間上の不変測度（グラスマンニアンや直交群を含む）を探索すること。
• 逆極限の群と空間への理論の拡張、特にユニタリ群と対称群を含むこと。
• ガウス測度およびポアソン測度の対称性を調査し、調和解析および表現論との関連を明らかにすること。

提案手法

• 乗法および逆元の連続性を仮定する位相的群の公理を用い、可算基底をもつ局所コンパクト群に焦点を当てる。
• ハール測度の存在を示すために、複数の証明法（例えば、不変平均、リースの表現定理）を適用する。
• 非ユニモジュラー性を測るホモーモルフィズムとしてのモジュラ係数を導入する。
• 基本群からの持ち上げによって、同次空間 G/H における不変測度を構成する。
• 逆極限構成を用いて、一貫した射影が存在するルベーグ空間の列の射影極限としての測度空間および群を定義する。例えば U(∞) や仮想置換を含む。
• コルモゴロフの定理を用いて、一貫した射影を持つルベーグ空間の逆極限に、自然な不変測度を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可算基底をもつ局所コンパクト位相的群に、ハール測度をどのように構成できるか？
• RQ2 モジュラ係数は、左不変および右不変測度を特徴づける上で果たす役割は何か？
• RQ3 グラスマンニアンや直交群上の不変測度は、群作用および表現論とどのように関係しているか？
• RQ4 ユニタリ群の逆極限の構造は何か？ そして、不変測度の支持にどのように寄与するか？
• RQ5 ガウス測度およびポアソン測度の対称性は、位相的群における調和解析とどのように関連しているか？

主な発見

• 任意の可算基底をもつ局所コンパクト位相的群において、一意的（スカラー倍を除く）な左不変な σ-有限なボレル測度、すなわちハール測度が存在する。
• コンパクト群では、ハール測度は有限であり、左および右移動、および逆元作用の両方に対して不変である。
• モジュラ係数は、右移動における不変性の欠如を測るものであり、ℝ⁺ への連続的ホモーモルフィズムである。
• H が閉じた正規部分群であるとき、同次空間 G/H に不変測度が存在し、ハール測度の押し出し（プッシュフォワード）によって構成される。
• 一貫した射影を持つルベーグ空間の列の逆極限は、コルモゴロフの拡張定理によって、自然な不変測度をもつ。
• 仮想置換の空間および群 U(∞) は自然に逆極限として現れ、不変測度を支持し、固有値分布および対称性の解析を可能にする。