[論文レビュー] Topological invariants of symmetry-protected and symmetry-enriched topological phases of interacting bosons or fermions

Xiao-Gang Wen|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2013

Quantum Mechanics and Applications被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、相互作用するボソンまたはフェルミオンの対称性保護型トポロジカル（SPT）相が、$\mathcal{H}^d(SG, \mathbb{R}/\mathbb{Z})$ の群コホモロジー類によって分類可能であると提唱し、点状欠損や欠損線/膜上の分数化した量子数といったトポロジカル不変量が、これらの相の実験的可測な兆候であることを示している。主な結果として、$Z_n$ SPT状態における $n$ 個のモノドロミー欠損は、$\mathcal{H}^3(Z_n, \mathbb{R}/\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}_n$ に属する SPT相を表す $m$ によってラベル付けられる、合計で $Z_n$-電荷 $2m$ を持つことが示されている。

ABSTRACT

Recently, it was realized that quantum states of matter can be classified as long-range entangled (LRE) states (i.e. with non-trivial topological order) and short-range entangled (SRE) states (\ie with trivial topological order). We can use group cohomology class ${\cal H}^d(SG,R/Z)$ to systematically describe the SRE states with a symmetry $SG$ [referred as symmetry-protected trivial (SPT) or symmetry-protected topological (SPT) states] in $d$-dimensional space-time. In this paper, we study the physical properties of those SPT states, such as the fractionalization of the quantum numbers of the global symmetry on some designed point defects, and the appearance of fractionalized SPT states on some designed defect lines/membranes. Those physical properties are SPT invariants of the SPT states which allow us to experimentally or numerically detect those SPT states, i.e. to measure the elements in ${\cal H}^d(G, R/Z)$ that label different SPT states. For example, 2+1D bosonic SPT states with $Z_n$ symmetry are classified by a $Z_n$ integer $m \in {\cal H}^3(Z_n, R/Z)=Z_n$. We find that $n$ identical monodromy defects, in a $Z_n$ SPT state labeled by $m$, carry a total $Z_n$-charge $2m$ (which is not a multiple of $n$ in general).

研究の動機と目的

• global symmetry $SG$ を持つ短距離相関型（SRE）トポロジカル相を、群コホモロジー $\mathcal{H}^d(SG, \mathbb{R}/\mathbb{Z})$ を用いて体系的に分類すること。
• 点状欠損における分数化した量子数といった物理的観測量——特に SPT 状態のトポロジカル不変量としての役割を果たすもの——を同定すること。
• 欠損線や膜が、下位次元の SPT 状態を宿すことができることを示し、それによって基礎的なトポロジカル秩序を調べる手段を提供すること。
• 抽象的なコホモロジー類と $d$ 次元時空における測定可能な物理量との直接的な関連を確立すること。
• 設計されたトポロジカル欠損における対称性量子数を測定することにより、SPT 相を実験的または数値的に検出するためのフレームワークを提供すること。

提案手法

• global symmetry $SG$ を持つ $d$ 次元 SPT 相を、群コホモロジー $\mathcal{H}^d(SG, \mathbb{R}/\mathbb{Z})$ を用いて分類する。
• SPT 状態における点状欠損（例：モノドロミー欠損）における global symmetry 量子数の分数化を分析する。
• バルク SPT 状態内に欠損線や膜を構築し、それらが低次元の SPT 状態を宿すことで、対称性を強化したトポロジカル秩序を明らかにする。
• SPT 状態における $n$ 個の同一のモノドロミー欠損が、$m \in \mathbb{Z}_n$ によって表される $Z_n$-電荷を合計で $2m$ だけ持つことを導出する。
• トポロジカル場理論と anyonic 統計を用いて、欠損に対する対称性フラックスや anyon のバーニング反応を計算する。
• コホモロジー類 $m \in \mathcal{H}^3(Z_n, \mathbb{R}/\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}_n$ が、$n$ 個の欠損の合計電荷を通じて測定可能であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群コホモロジー $\mathcal{H}^d(SG, \mathbb{R}/\mathbb{Z})$ を用いた SPT 相の分類を、測定可能な物理的観測量とどのように結びつけることができるか？
• RQ2 $Z_n$ SPT 状態における点状欠損における対称性量子数の分数化は何か？
• RQ3 バルク SPT 状態内の欠損線や膜が、自らの分数化した SPT 順序を宿すことができるか？
• RQ4 $Z_n$ SPT 状態において、$m$ によってラベル付けられる $n$ 個のモノドロミー欠損が、合計でどの程度の $Z_n$-電荷を運ぶか？
• RQ5 コホモロジー類 $m \in \mathcal{H}^3(Z_n, \mathbb{R}/\mathbb{Z})$ は、どのようにして実験的または数値的に検出可能か？

主な発見

• $Z_n$ SPT 状態における $n$ 個の同一のモノドロミー欠損が運ぶ $Z_n$-電荷は、$m \in \mathbb{Z}_n$ によってラベル付けられる $2m$ である。
• この合計電荷 $2m$ は、$n$ の倍数であるとは限らず、非自明なトポロジカル応答を示し、SPT 状態の非自明性を裏付けている。
• 群コホモロジー類 $\mathcal{H}^3(Z_n, \mathbb{R}/\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}_n$ は、$Z_n$ 対称性を持つ 2+1次元ボソン系の SPT 状態を完全に分類する。
• 欠損における global symmetry 量子数の分数化は、異なる SPT 状態を区別する物理的不変量を提供する。
• 欠損線や膜は、低次元の SPT 状態を宿すことができ、系内に対称性を強化したトポロジカル秩序を明らかにする。
• 測定可能なトポロジカル不変量——例：$n$ 個の欠損における合計電荷——を用いることで、コホモロジー類 $m$ の実験的または数値的検出が可能になる。