[論文レビュー] Topological obstructions to embedding of a matrix algebra bundle into a trivial one

А. В. Ершов|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、行列代数の次元に算術的条件が課された場合に、複素行列代数束を自明な束へ埋め込むことのできる位相的障害を同定し、構造群の群重み付きの主束と関連づけ、無限ループ空間および射影的ユニタリ群の分類空間による作用を通じてねじれK理論と結びつける。

ABSTRACT

In the present paper we describe topological obstructions to embedding of a (complex) matrix algebra bundle into a trivial one under some additional arithmetic condition on their dimensions. We explain a relation between this problem and some principal bundles with structure groupoid. Finally, we briefly discuss a relation of our results to the twisted K-theory.

研究の動機と目的

• 局所的に自明な複素行列代数束が自明な束に埋め込まれる条件を特定すること。
• 行列代数の次元に算術的制約が課された場合の、そのような埋め込みの位相的障害を同定すること。
• 埋め込み問題を構造群の群重み付きの主束に関連付けること。
• 無限ループ空間および射影的ユニタリ群の分類空間による作用を通じて、ねじれK理論との関係を探索すること。

提案手法

• 埋め込み問題を、形式 $X \times M_n(\mathbb{C})$ の自明な束へのファイバーごとの埋め込みを用いて分析する。
• 互いに素な次元の行列代数間の埋め込みの構造をモデル化するため、群重み付き $\mathfrak{G}_{k,l}$ を導入する。
• 互いに素なペア $(k,l)$ における直和極限を用いて、無限次元の作用群重み付き $\mathfrak{G} = \varinjlim \mathfrak{G}_{k,l}$ を構成する。
• Grassmannianおよび分類空間への普遍的作用をモデル化するため、$\mathop{\rm Fr}\nolimits$ と呼ばれる無限ループ空間のホモトピー的構造に依存する。
• $\mathop{\rm BSU}\nolimits_{\otimes}$, $\mathop{\rm BFr}\nolimits$, および $\mathop{\rm B}\nolimits\widetilde{\mathop{\rm Fr}\nolimits}$ を含むファイブレーションを構成し、普遍的ねじれK理論の分類空間を記述する。
• $\mathop{\rm Fr}\nolimits$ がK理論スペクトルに作用する対応関係と、$\mathop{\rm BFr}\nolimits$ 上の $\mathop{\rm Fred}\nolimits(\mathcal{H})$-束の構成を確立し、標準的なねじれK理論の設定と類似の構造を形成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元に特定の算術的条件が課された場合、行列代数束が自明な束に埋め込めない位相的障害は何か？
• RQ2 埋め込み問題は、標準的なリー群作用ではなく、構造群の群重み付きの主束とどのように関係しているか？
• RQ3 群重み付き $\mathfrak{G}_{k,l}$ の直和極限が、Grassmannianおよび分類空間への普遍的作用をどのようにモデル化するか？
• RQ4 無限ループ空間 $\mathop{\rm Fr}\nolimits$ がK理論スペクトルに作用する仕組みは、ねじれK理論とどのように関係しているか？
• RQ5 $[X, \prod_{n\geq 2} K(\mathbb{Q}, 2n)]$ から $[X, \mathop{\rm B}\nolimits\widetilde{\mathop{\rm Fr}\nolimits}]$ への写像の余核を通じて、非可換なブラーユー群の類似を定義できるか？

主な発見

• 行列代数束が自明な束に埋め込まれるための位相的障害は、ファイバーの次元に算術的条件によって決定される。
• 互いに素な次元の行列代数のテンソル積から生じる群重み付き $\mathfrak{G}_{k,l}$ は、埋め込み関係をモデル化するが、リー群作用によって誘導されない。
• 直和極限 $\mathfrak{G} = \varinjlim \mathfrak{G}_{k,l}$ は、無限ループ空間 $\mathop{\rm Fr}\nolimits$ が Grassmannian $\mathop{\rm Gr}\nolimits$ に作用することに対応し、ファイブレーション $\mathop{\rm BSU}\nolimits_{\otimes} \to \mathop{\rm BFr}\nolimits$ を導く。
• 分類空間 $\mathop{\rm BFr}\nolimits$ は $K(\mathbb{Q}/\mathbb{Z}, 2) \times \mathop{\rm B}\nolimits\widetilde{\mathop{\rm Fr}\nolimits}$ に分解され、ブラーユー群の torsion 項と可除項を反映している。
• 写像 $[X, \prod_{n\geq 2} K(\mathbb{Q}, 2n)] \to [X, \mathop{\rm B}\nolimits\widetilde{\mathop{\rm Fr}\nolimits}]$ の余核として、非可換なブラーユー群の類似が定義され、古典的な有限ブラーユー群を一般化する。
• $\mathop{\rm Fr}\nolimits$ がK理論スペクトルに作用する対応関係は、$\mathop{\rm BFr}\nolimits$ 上の $\mathop{\rm Fred}\nolimits(\mathcal{H})$-束を誘導し、標準的なねじれK理論の構成（$\mathop{\rm PU}\nolimits(\mathcal{H})$ を通じて）と類似の構造を形成する。