[論文レビュー] Topological properties of Taimanov semigroups

Олег Гутік|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2016

Advanced Topology and Set Theory参考文献 11被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、唯一のゼロ要素と特徴的な無限大要素を持つ可換半群であるTaimanov半群が、連続なシフトを持つ非離散$T_1$位相をもたないことを確立している。非離散$T_1$位相が存在するならば、それは常に離散的でなければならない。Taimanov半群は、それらを含む$T_1$位相半群において閉じており、すべての同型でない準同型像はゼロ半群であるため、任意の位相において位相的である。これらの結果は、Taimanovが非位相化可能な半群について行った以前の研究を一般化し、強化している。

ABSTRACT

A semigroup $T$ is called Taimanov if $T$ contains two distinct elements $0,\infty$ such that $xy=\infty$ for any distinct points $x,y\in T\setminus\{0,\infty\}$ and $xy=0$ in all other cases. We prove that any Taimanov semigroup $T$ has the following topological properties: (i) each $T_1$-topology with continuous shifts on $T$ is discrete; (ii) $T$ is closed in each $T_1$-topological semigroup containing $T$ as a subsemigroup; (iii) every non-isomorphic homomorphic image $Z$ of $T$ is a zero-semigroup and hence $Z$ is a topological semigroup in any topology on $Z$.

研究の動機と目的

• Taimanov半群が連続なシフトを持つ$T_1$位相のもとで位相的に実現可能かどうかを調査すること。
• Taimanovの元々の非離散位相化に関する結果を一般化し、より強い閉包性および離散性の性質を証明すること。
• Taimanov半群の同型でない準同型像の構造を特徴付け、その位相的挙動を明らかにすること。
• Taimanov半群が$T_1$位相半群のクラスにおいて代数的に完全であることの確立

提案手法

• 異なる非ゼロで非無限大の要素同士の積が無限大になること、その他のすべての積がゼロ要素を返す二項演算によってTaimanov半群を定義する。
• シフト連続性と$T_1$分離性を用いて、任意の連続シフトを持つ$T_1$位相において、点$0_T$と$\infty_T$が孤立していることを示す。
• 左乗法と右乗法の連続性を用いて背理法により、非ゼロかつ非無限大の各要素も孤立していることを証明する。
• 核構造と積の挙動を分析することで、Taimanov半群の同型でない任意の準同型像がゼロ半群であることを示す。
• ゼロ半群の演算が定数であるため、任意の位相で連続であることに着目し、このような像が位相的半群であることを示す。
• 得られた結果を応用して、Taimanov半群が$T_1$位相半群において閉じており、そのクラスにおいて代数的に完全であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Taimanov半群が、左移動および右移動が連続である非離散$T_1$位相をもつことは可能か？
• RQ2 Taimanov半群は、それらを部分半群として含む任意の$T_1$位相半群において、必然的に閉じているか？
• RQ3 Taimanov半群の同型でない任意の準同型像の構造は何か？
• RQ4 Taimanov半群の同型でない任意の準同型像は、任意の位相のもとで位相的半群となるか？
• RQ5 $T_1$位相半群のクラスは、Taimanov半群の代数的完全性について閉じているか？

主な発見

• Taimanov半群に連続なシフトを持つ任意の$T_1$位相は、濃度にかかわらず常に離散的である。
• Taimanov半群は、それらを部分半群として含む任意の$T_1$位相半群において閉じている。
• Taimanov半群の同型でない任意の準同型像はゼロ半群である。
• すべてのゼロ半群は、その積演算が定数であるため、任意の位相において位相的半群である。
• Taimanov半群は、$T_1$位相半群のクラスにおいて代数的に完全である。これは、それらが任意のそのような半群に含まれる場合に閉じていることを意味する。
• 閉包性の結果において、平方写像の連続性が本質的である。$m \geq 3$についての高次累乗写像$x \mapsto x^m$の連続性だけでは、閉包性を保証するには不十分である。