[論文レビュー] Toponogov comparison theorem for open triangles

Kei Kondo, Minoru Tanaka|arXiv (Cornell University)|May 20, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、完全なリーマン多様体に滑らかな凸境界を持つ場合に、測地三角形の代わりに境界に立つ開三角形を用い、完全測地的境界を持つワーパード積円筒から導かれるモデル面を用いることで、トポノゴフの比較定理を一般化する。主な結果として、径方向的曲率の制御のもとで、境界上の点とそのモデル空間内への上への写像との間の角度および距離の比較が確立され、境界を伴う多様体における古典的比較幾何学への拡張がなされる。

ABSTRACT

Dedicated to Professor Gromoll: The aim of our article is to generalize the Toponogov comparison theorem to a complete Riemannian manifold with smooth convex boundary. A geodesic triangle will be replaced by an open (geodesic) triangle standing on the boundary of the manifold, and a model surface will be replaced by the universal covering surface of a cylinder of revolution with totally geodesic boundary. Applications of our theorem are found in our article "Applications of Toponogov's comparison theorems for open triangles" (arXiv:1102.4156).

研究の動機と目的

• 滑らかな凸境界を有する完全なリーマン多様体に、トポノゴフの比較定理を拡張すること。
• 標準的な測地三角形の代わりに、頂点が境界上にある開（測地的）三角形を用いること。
• 定曲率モデルに代わる新しいモデル面——完全測地的境界を有する回転円筒の普遍被覆——を導入すること。
• 径方向的曲率の制御のもとで、角度および距離の比較結果を確立すること。
• モデル空間におけるカット点の対を含まないセクタに制限することで、カットローカスに起因する障害を回避すること。

提案手法

• ワーピング関数 $m$ が $m(0)=1$, $m'(0)=0$ を満たすように、$\widetilde{X} = [0,\infty) \times_m \mathbb{R}$ としてのモデル面を定義し、$\tilde{g} = d\tilde{x}^2 + m(\tilde{x})^2 d\tilde{y}^2$ と表す。
• 境界 $\partial\widetilde{X}$ に沿った $\partial\widetilde{X}$-線の径方向的曲率関数 $G \circ \tilde{\mu}$ を用いて曲率の制御を定義する。
• 多様体 $X$ の境界上に、$p$, $q$ から $\partial X$ への最小測地線を用いた開三角形 $\mathrm{OT}(\partial X, p, q)$ を構成する。
• 命題 8.3 を用いて辺の長さの等長比較により、配置をモデル空間 $\widetilde{X}$ に持ち上げる。
• 距離関数 $\mathcal{D}(t) = d(\tilde{\mu}_1^{(t)}(0), \tilde{\mu}_2^{(t)}(0))$ が $t \in (0,1]$ で非増加であることを応用し、角度および距離の不等式を導出する。
• モデル空間内のセクタ $\widetilde{X}(\theta_0)$ にカット点の対が存在しないことにより、反対辺の一意性と比較の有効性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな凸境界を有するリーマン多様体に対して、標準的な測地三角形の代わりに境界上に立つ開三角形を用いることで、トポノゴフの比較定理を拡張することは可能か？
• RQ2 このような一般化された比較定理において、定曲率モデルに代わるモデル面は何か？
• RQ3 境界に沿った測地線を伴う状況で、径方向的曲率の制御をどのように用いて角度および距離を比較できるか？
• RQ4 モデル空間内の単連結セクタにカット点の障害がないことを保証する条件は何か？
• RQ5 角度および距離の比較において等号が成立する条件は何か？

主な発見

• 滑らかな凸境界を有する完全なリーマン多様体における任意の開三角形 $\mathrm{OT}(\partial X, p, q)$ に対して、同じ辺の長さを持つモデル面 $\widetilde{X}$ 上の比較三角形 $\mathrm{OT}(\partial\widetilde{X}, \tilde{p}, \tilde{q})$ が存在する。
• 点 $p$ および $q$ における角度は $\angle p \geq \angle \tilde{p}$ および $\angle q \geq \angle \tilde{q}$ を満たし、比較三角形の角度が小さくないことを示している。
• 境界上にある基底点 $\mu_1(0)$ と $\mu_2(0)$ の間の距離は $d(\mu_1(0), \mu_2(0)) \geq d(\tilde{\mu}_1(0), \tilde{\mu}_2(0))$ を満たし、モデル空間における基底距離が短いことを意味する。
• 角度における等号 $\angle p = \angle \tilde{p}$ および $\angle q = \angle \tilde{q}$ が成立するのは、$d(\mu_1(0), \mu_2(0)) = d(\tilde{\mu}_1(0), \tilde{\mu}_2(0))$ のときに限る。これは比較における剛性を示している。
• モデル空間における持ち上げられた三角形の基底点間の距離関数 $\mathcal{D}(t)$ は $t \in (0,1]$ で非増加であり、比較の安定性を保証する。