[論文レビュー] Torelli buildings and their automorphisms

Benson Farb, Nikolai V. Ivanov|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、5以上の genus を持つ閉じた可定向曲面に対して関連付けられる、追加構造を備えた単体複体である Torelli ビルディングを導入し、その自己同型がすべて曲面の微分同相写像によって誘導されることを証明する。主な結果として、Torelli ビルディングの自己同型群が拡張された写像類群に同型であることが特定され、Torelli 群自体の自己同型を研究するための基盤を提供する。

ABSTRACT

In this paper we introduce, for each closed orientable surface, an analogue of Tits buildings adjusted to investigation of the Torelli group of this surface. It is a simplicial complex with some additional structure. We call this complex with its additional structure the Torelli building of the surface in question. The main result of this paper shows that Torelli buildings of surfaces of genus at least 5 have only obvious automorphisms, and identifies its group of automorphisms. Namely, we prove that for such a surface every automorphism of its Torelli building is induced by a diffeomorphism of the surface. This theorem about automorphisms of Torelli buildings is intended for applications to automorphisms and virtual automorphisms of Torelli groups. The latter results will be presented on some other occasion. All these results were announced in arXiv:math/0311123.

研究の動機と目的

• 曲面の Torelli 群に特化したティーツビルディングの類似物として、Torelli ビルディングと呼ばれる追加構造を備えた新しい単体複体を定義すること。
• 5以上の genus を持つ曲面に対して、Torelli ビルディングのすべての自己同型が曲面の微分同相写像によって生じることを証明すること。
• Torelli ビルディングの構造を活用して、Torelli 群自体の自己同型および仮想自己同型を研究する基盤を確立すること。
• 曲線複体の自己同型理論における技法を Torelli 群の文脈へと拡張し、既知の曲線複体の自己同型に関する結果を活用すること。

提案手法

• Torelli ビルディングを、曲面上の分離曲線および境界ペアとしての曲線に対応する頂点を持つ単体複体として定義する。
• 拡張写像類群が曲線複体に作用することにより、Torelli ビルディングの自己同型が誘導されることを用いる。
• その組合せ的構造を分析することで、Torelli ビルディングの任意の自己同型が、分離曲線および境界ペアの頂点の包含関係を保存することを証明する。
• ファルブ＝イヴァノフ理論を介して既知の曲線複体の自己同型に関する結果を活用し、任意の Torelli ビルディングの自己同型が曲線複体の自己同型によって誘導されることを示す。
• このような曲線複体の自己同型が、曲面の微分同相写像によって誘導されることを示し、それを Torelli ビルディングへと持ち上げる。
• 結論として、Torelli ビルディングのすべての自己同型が微分同相写像によって誘導されることを示し、自己同型群を拡張写像類群に同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 5以上の genus を持つ曲面に対して、Torelli ビルディングの自己同型群の構造は何か？
• RQ2 Torelli ビルディングのすべての自己同型が、曲面の微分同相写像によって実現可能か？
• RQ3 Torelli ビルディングは、曲線複体および Torelli 群と、群の自己同型論の文脈でどのように関係しているか？
• RQ4 Torelli ビルディングの自己同型は、対応する曲面の対称性をどの程度反映しているか？
• RQ5 Torelli ビルディングの自己同型論を用いて、Torelli 群の有限指数部分群間の同型を分類できるか？

主な発見

• 5以上の genus を持つ閉じた可定向曲面 S に対して、Torelli ビルディングのすべての自己同型が S の微分同相写像によって誘導される。
• Torelli ビルディングの自己同型群は、S の拡張写像類群に同型である。
• 証明は、Torelli ビルディングの自己同型が、既に微分同相写像によって誘導されることが知られている、元の曲線複体の自己同型を誘導することに依拠している。
• 微分同相写像による自己同型の同定により、Torelli 群の有限指数部分群間の同型の分類が可能になる。
• この結果により、Torelli 群の自己同型群および外部自己同型群が、ともに拡張写像類群に同型であることが示される。
• この結果を用いて、Torelli 群の抽象的共役群（abstract commensurator）も拡張写像類群に同型であることが特定される。