[論文レビュー] Toric contact geometry in arbitrary codimension

Vestislav Apostolov, David M. J. Calderbank+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 22被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、任意の余次元 ℓ ≥ 1 において、トーリック接触幾何学を拡張するために、双対リー代数の ℓ 次元部分空間のグリーンマンニアン Grℓ(t∗N) における多面体的部分集合として、トーリック接触多様体を記述するグリーンマンニアンの運動量写像を導入する。主な貢献は分類定理である：リーブ型のコンパクトなトーリック接触多様体は、そのグリーンマンニアン像 Ξ と層コホモロジー群 H¹(Ξ, conT(D)) によって、同型を除いて分類可能であり、これはデルツァントの定理を高余次元に一般化したものであり、局所的不変量はグリーンマンニアンの幾何と無限小接触自己同型の層に埋め込まれている。

ABSTRACT

We define toric contact manifolds in arbitrary codimension and give a description of such manifolds in terms of a kind of labelled polytope embedded into a grassmannian, analogous to the Delzant polytope of a toric symplectic manifold.

研究の動機と目的

• 余次元 1 を超えるトーリック接触幾何学を任意の余次元 ℓ ≥ 1 に拡張すること。
• 高余次元におけるトーリック接触多様体のデルツァント多面体の自然な一般化を定義すること。
• グリーンマンニアン像と層コホモロジーを用いて、リーブ型のコンパクトなトーリック接触多様体を分類すること。
• 高余次元における局所的不変量の存在が、グリーンマンニアン内での多面体の柔軟性に起因することを示すこと。

提案手法

• 高余次元における技術的障害を避けるために、適切な接触作用を保証するための横断性条件（条件 1）を導入する。
• トーリックシンプレクティック多様体の運動量多面体を一般化して、軌道空間 N/TN を Grℓ(t∗N) に埋め込むコンパクトで多面体的な運動量写像を定義する。
• シンプレクティックスライス理論とハミルトニアン還元を用いて、トーリック接触作用の局所モデルを構成し、接触多様体のシンプレクティゼーション UD を活用する。
• TS の作用と運動量写像 φ を用いて、eV × T × CS をレベル 0 でシンプレクティック還元することで、グローバルなトーリックシンプレクティック多様体を構成する。
• シンプレクティック商 M が T-作用と T-不変なアイソトロピック foliation G を持ち、その葉空間 N が Ng,λ と微分同相であることを示す。
• G に対するシンプレクティック直交補空間の押し出しにより、N 上に接触分布 D が得られることを示し、R∗-作用と原始 1-形式 ιYω を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 余次元 ℓ > 1 の分布において、トーリック接触幾何学をどのように一般化できるか？
• RQ2 任意の余次元におけるトーリック接触多様体のためのデルツァント多面体の適切な一般化は何か？
• RQ3 高余次元における局所的不変量はどのように生じるのか？そして、それらは組合せ論的に記述可能か？
• RQ4 層 conT(D) はトーリック接触多様体の分類において果たす役割は何か？また、その第一コホモロジーがいつ消えるのか？

主な発見

• リーブ型のコンパクトなトーリック接触多様体のグリーンマンニアン像 Ξ は、Grℓ(t∗N) 内でデルツァント的かつ多面体的であり、これはデルツァント多面体を高余次元に一般化したものである。
• リーブ型のトーリック接触多様体は、そのグリーンマンニアン像 Ξ と層コホモロジー群 H¹(Ξ, conT(D)) によって、同型を除いて分類可能である。
• 層 conT(D) は無限小接触自己同型を記述し、過剰決定系の線形偏微分方程式系として定義され、一般には非自明なインボリューションをもたない。
• 多様体が余次元 1 のトーリック接触多様体の積である場合、コホモロジー群 H¹(Ξ, conT(D)) は消えるため、分類の一意性が保証される。
• この構成により、シンプレクティック還元を通じてグローバルなトーリックシンプレクティック多様体が得られ、商空間 N は、foliation に対するシンプレクティック直交補空間の押し出しにより接触構造を誘導する。
• 運動量写像 µ: M →t∗ は写像 E: N →Ξ に下方に降下し、分布 D は接触的であることが示され、これは、核にシンプレクティック直交補空間を含む原始 1-形式 ιYω の存在によって裏付けられる。