[論文レビュー] Toward a Connection between the Oriented Matroid Theory and Supersymmetry

J. A. Nieto|ArXiv.org|Oct 21, 2005

Quantum and Classical Electrodynamics参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、11次元および10次元の超重力における最大超対称性解から生じる2次的制約が、向き付けられたマトロイド理論におけるグラスマン・プリューマン関係式と同等であることを特定することで、向き付けられたマトロイド理論と超対称性の間の新しい接点を提案する。これにより、『スーパーフィロトープ』——複素数的・超対称的拡張されたフィロトープ——の概念が導入され、超対称性が向き付けられたマトロイドの代数的枠組みに埋め込まれ、結果として得られる作用には自動的に双対性対称性が保証される。

ABSTRACT

We considered the possibility that the oriented matroid theory is connected with supersymmetry via the Grassmann-Plucker relations. The main reason for this, is that such relations arise in both in the chirotopes definition of an oriented matroid, and in maximally supersymmetric solutions of eleven- and ten-dimensional supergravity theories. Taking this observation as a motivation, and using the concept of a phirotope, we propose a mechanism to implement supersymmetry in the context of the oriented matroid theory.

研究の動機と目的

• 向きつけられたマトロイド理論と超対称性の間の数学的ブリッジを確立すること、特にM理論および超重力の文脈において。
• 従来のM理論のマトロイドに基づく定式化がボソン的領域に限定されていたことに対応し、超対称性の欠如を解消すること。
• フィロトープを用いて、複素構造へのチロトープ概念の一般化を図り、超対称的拡張を可能とすること。
• グラスマン・プリューマン関係式を満たし、双対性および超対称性を保存する場の理論的作用に適したスーパーフィロトープを定義すること。
• 最大超対称性が11次元および10次元の超重力で自然にチロトープに類似した構造を生じることを示すこと、これはグラスマン・プリューマン恒等式によって裏付けられる。

提案手法

• 実現可能な向きつけられたマトロイドを表すために、グラスマン・プリューマン行列式の符号を用いたチロトープ定義を用いる。
• 複素数上での一般化されたグラスマン・プリューマン関係式を満たす、フィロトープを複素数的一般化として導入する。
• 超空間上での超場関数としてのスーパーフィロトープ Ψ^{i₁…i_d}(ξ,θ) を構築し、グラスマン変数 θ を組み込む。
• グローバル超対称性変換 δθ = ε および δv^i = iǭγ^i ∂θ に対して不変である作用 S = ∫ d^dξ dθ (λ⁻¹ ΨΨ − λ T_d²) を導出する。
• 向きつけられたマトロイドの本質的双対性を活用することで双対性対称性を課し、作用が構成上自己双対であることを保証する。
• 超場の展開 X^i(ξ,θ) を用いて、スーパーフィロトープを超p-brane作用と関連付ける。ここで π_a^i = ∂_a x^i − iǭγ^i ∂_a θ である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 向きつけられたマトロイド理論の中心的役割を果たすグラスマン・プリューマン関係式は、11次元および10次元の超重力における最大超対称性の制約と結びつけることができるか？
• RQ2 チロトープ概念は、フェルミオン自由度を含む超対称性に適合させるために、複素構造へとどのように一般化できるか？
• RQ3 双対性および超対称性を場の理論的作用で保つ超対称的チロトープの一般化を定義することは可能か？
• RQ4 スーパーフィロトープ形式は、向きつけられたマトロイド理論に内在する双対性対称性を自然に組み込むことができるか？
• RQ5 スーパーフィロトープ作用は、超空間の超場関数の定式化を通じて、既知の超p-brane作用と関連づけられるか？

主な発見

• 11次元および10次元の超重力におけるグラスマン・プリューマン関係式——4形式および5形式場の最大超対称性制約から生じる——は、向きつけられたマトロイド理論におけるチロトープの定義的関係と一致する。
• 10次元IIB超重力の5形式 F は F = G + *G を満たし、G は分解可能5形式である。これにより、G とそのホッジ双対はグラスマン・プリューマン関係式を満たし、5ランクのチロトープを定義する。
• フィロトープ概念はチロトープの複素数的拡張を提供し、複素ベクトル空間上での超対称的構造の定式化を可能にする。
• グラスマン・プリューマン型関係式を満たし、超対称性に関して共変的に変換する超場関数としてのスーパーフィロトープ Ψ^{i₁…i_d}(ξ,θ) が構築される。
• 提案された作用 S = ∫ d^dξ dθ (λ⁻¹ ΨΨ − λ T_d²) はグローバル超対称性に対して不変であり、向きつけられたマトロイドの双対性のおかげで、構成上双対性対称性も自動的に尊重される。
• スーパーフィロトープ作用は、超場の展開 X^i(ξ,θ) = x^i(ξ) + iθψ^i(ξ) + (i/2)θθB^i(ξ) を通じて、標準的な超p-brane作用と関連づけられ、超対称性代数のオフシェル閉じ性が保証される。