[논문 리뷰] Toward Instance-Optimal State Certification With Incoherent Measurements

Sitan Chen, Jerry Li외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 02. 25.

Random Matrices and Applications참고 문헌 36인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비적응형 비결합 측정을 사용한 양자 상태 검증을 위한 인스턴스 최적의 복사 수 복잡도 한계를 수립한다. 그 결과, 필요한 복사 수가 $\Theta(f(\sigma)/\varepsilon^2)$의 비율로 증가함을 보이며, 여기서 $f(\sigma)$는 $\sigma$와 최대 혼합 상태 사이의 신뢰도에 비례한다. 놀랍게도 이 양자적 한계는 고전적 인스턴스 최적의 한계와 본질적으로 다름을 보이며, 고전적 및 양자적 성질 테스팅 간의 근본적인 차이를 드러낸다.

ABSTRACT

We revisit the basic problem of quantum state certification: given copies of unknown mixed state $ρ\in\mathbb{C}^{d imes d}$ and the description of a mixed state $σ$, decide whether $σ= ρ$ or $\|σ- ρ\|_{\mathsf{tr}} \ge ε$. When $σ$ is maximally mixed, this is mixedness testing, and it is known that $Ω(d^{Θ(1)}/ε^2)$ copies are necessary, where the exact exponent depends on the type of measurements the learner can make [OW15, BCL20], and in many of these settings there is a matching upper bound [OW15, BOW19, BCL20]. Can one avoid this $d^{Θ(1)}$ dependence for certain kinds of mixed states $σ$, e.g. ones which are approximately low rank? More ambitiously, does there exist a simple functional $f:\mathbb{C}^{d imes d} o\mathbb{R}_{\ge 0}$ for which one can show that $Θ(f(σ)/ε^2)$ copies are necessary and sufficient for state certification with respect to any $σ$? Such instance-optimal bounds are known in the context of classical distribution testing, e.g. [VV17]. Here we give the first bounds of this nature for the quantum setting, showing (up to log factors) that the copy complexity for state certification using nonadaptive incoherent measurements is essentially given by the copy complexity for mixedness testing times the fidelity between $σ$ and the maximally mixed state. Surprisingly, our bound differs substantially from instance optimal bounds for the classical problem, demonstrating a qualitative difference between the two settings.

연구 동기 및 목표

• 최악의 혼합 상태를 초월한 양자 상태 검증 복잡도에 대한 이해의 격차를 메우기 위해.
• 비적응형 비결합 측정을 사용할 때, 복사 수 복잡도가 목표 상태 $\sigma$의 기능에 비례하는 인스턴스 최적의 한계가 달성 가능한지 확인하기 위해.
• 실제 메모리 및 시간 제약 조건을 고려한 근접한 양자 검증 프로토콜을 위한 이론적 기반을 마련하기 위해.
• 고전적 및 양자적 인스턴스 최적의 한계 사이에 본질적인 차이가 존재하는지 보여주기 위해.

제안 방법

• 비적응형 비결합 측정을 분석하기 위해 가능도 비율 분석과 Weingarten 적분을 기반으로 하는 일반적인 하한 프레임워크를 개발한다.
• 고차원 상태의 구조를 다루고 추정의 분산을 줄이기 위해 새로운 버킷화 및 질량 제거 기법을 도입한다.
• 밀도 행렬 $\sigma$를 고유값 크기가 감소하는 블록으로 재귀적으로 분해함으로써 적응형 오차 제어를 가능하게 한다.
• 헤어 랜덤 프로젝션을 사용하여 대각 및 비대각 블록을 별도로 테스트하는 검증 알고리즘을 설계하고, 이진 가설 검정을 위한 서브루틴을 활용한다.
• 통계적 보장을 유지하면서 게이트 효율적인 구현을 보장하기 위해 헤어 측정 대신 근사 4-디자인을 사용한다.
• 꼬리 확률 한계와 블록 행렬 분석을 적용하여 다중 측정 라운드 동안의 오차 전파를 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비적응형 비결합 측정을 사용할 때, 목표 상태 $\sigma$의 기능에 따라 복사 수 복잡도가 달라지는 인스턴스 최적의 상태 검증이 달성될 수 있는가?
• RQ2 비최대 혼합 상태에 대해 비결합 측정만 허용할 경우 상태 검증의 복사 수 복잡도는 어떻게 변화하는가?
• RQ3 성질 테스팅에서 고전적 및 양자적 인스턴스 최적의 한계 사이에 본질적인 차이가 존재하는가?
• RQ4 $d^{3/2}$-의존성이 최악의 경우 검증에서 저랭크 또는 약간의 저랭크 상태 $\sigma$에 대해 향상될 수 있는가?
• RQ5 비결합 측정 하에서 상태 검증의 최적 복사 수 복잡도를 특징짓는 정확한 함수 $f(\sigma)$는 무엇인가?

주요 결과

• 비적응형 비결합 상태 검증의 복사 수 복잡도는 $\widetilde{\Theta}(\|\sigma - \tau_d\|_2^{-1}/\varepsilon^2)$이며, 여기서 $\tau_d$는 최대 혼합 상태이다. 다항로그 요소를 제외한 상수 요소까지 유지된다.
• 이 한계는 전체 차원 $d$가 아니라 $\sigma$와 최대 혼합 상태 사이의 $\ell_2$-거리에 의존함을 보이며, 이는 최대 혼합 상태에 가까운 상태에서 성능 향상을 의미한다.
• 제안된 알고리즘은 로그 요소를 제외한 인스턴스 최적의 성능을 달성하며, 특정 $\sigma$에 대해 최악의 경우 $O(d^{3/2}/\varepsilon^2)$의 한계보다 크게 향상된다.
• 고전적 및 양자적 인스턴스 최적의 한계 사이에 놀랍게도 본질적인 차이가 발견되었다: 양자적 한계는 최대성에서의 $\ell_2$-노름에 의존하는 반면, 고전적 한계는 $\ell_1$-기반이다.
• 분석 결과, 최악의 경우의 $d^{3/2}$-의존성이 문제의 본질적 복잡도 때문이 아니라 비결합 측정의 구조 때문임을 밝혀냈다.
• 알고리즘은 근사 4-디자인을 사용하여 효율적으로 구현 가능하며, $O(N \cdot \mathrm{polylog}\, d)$의 시간 복잡도로 게이트 효율적인 실현이 가능하다.