[論文レビュー] Towards a good notion of categories of logics

Caio de Andrade Mendes, Hugo Luiz Mariano|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2014

Advanced Algebra and Logic参考文献 18被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、論理の圏における同型射を相互導出可能性に基づいて同定する商圏および反映的部分圏を導入することで、命題論理の洗練された圏論的枠組みを提案する。これにより、従来の手法に見られる主要な欠陥が解消される。本稿では、有限型の合同的論理の圏が有限に局所的に生成可能であることを確立し、完全性およびコ完全性を保証する。また、代数化可能な論理および論理の同一性問題の自然な取り扱いが可能となる。

ABSTRACT

We consider (finitary, propositional) logics through the original use of Category Theory: the study of the "sociology of mathematical objects", aligning us with a recent, and growing, trend of study logics through its relations with other logics (e.g. process of combinations of logics as bring [Gab] and possible translation semantics [Car]). So will be objects of study the classes of logics, i.e. categories whose objects are logical systems (i.e., a signature with a Tarskian consequence relation) and the morphisms are related to (some concept of) translations between these systems. The present work provides the first steps of a project of considering categories of logical systems satisfying simultaneously certain natural requirements: it seems that in the literature ([AFLM1], [AFLM2], [AFLM3], [BC], [BCC1], [BCC2], [CG], [FC]) this is achieved only partially.

研究の動機と目的

• すべての自然的要件（客観性、圏論的完全性、代数化可能性、論理の同一性の取り扱い）を満たす、論理の統一的で圏論的基盤を提供すること。
• 既存の論理の圏における制限（例：$\mathcal{L}_s$における過度に厳しい同型射、$\mathcal{L}_f$における完全性の欠如）を克服するため、洗練された商構成を導入すること。
• ファイブリング（余積）と可能な翻訳（分裂）を両立させる論理の圏を提供し、論理を相互に接続された数学的対象として捉える社会的視点に整合させること。
• 同値式を用いた自然な代数化論理の概念を確立し、その構造的および意味的性質を保つ良好な圏論的枠組みに埋め込むこと。
• 将来の方向性として、作用素やモリタ同値を用い、論理の同一性および結合子の相互定義可能性に対するより強固で不変な取り扱いを追求すること。

提案手法

• 論理間の相互導出可能な翻訳を同定するための同値関係に基づく、導出可能性の同値性に依存する合同関係を用いて、同型射を相互導出可能性で同定する商圏 $\mathcal{Q}_f$ を定義する。
• 有限型の合同的論理に制限された $\mathcal{Q}_f$ の反映的部分圏 $\mathcal{Q}_f^c$ を構成し、より良好な圏論的性質を保証する。
• シグネチャ圏 $\mathcal{S}_s$ と $\mathcal{S}_f$ 間の随伴が、Kleisli 圏が $\mathcal{S}_f$ となるモノイドを誘導することを示し、結合子に基づく同型射の体系的取り扱いを可能にする。
• シグネチャ上の帰納的関係の集合に自然な代数的ラティス構造を導入し、極限および余極限の構成を支援する。
• 同値式 $\Delta$ が構造的条件を満たす三つ組 $(\Sigma, \vdash, \Delta/\!\!\dashv\vdash)$ を用いて、代数化論理の圏 $\mathcal{A}_f$ を導入する。
• 包含関係と関手の図式を用いて $\mathcal{L}_f$, $\mathcal{L}_f^c$, $\mathcal{Q}_f^c$, および $\mathcal{A}_f$ を関連付け、$\mathcal{Q}_f^c$ が良好に動作する論理の本質的構造を捉えていることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような圏論的枠組みが、標準的論理を表現し、良好な圏論的性質を持ち、代数化可能性を満たし、論理の同一性問題を解消するという、自然的要件を同時に満たすか？
• RQ2 相互導出可能性に基づく同型射の役割は何か？ そして、厳密なシグネチャ同型射や論理式に基づく同型射と比較して、どのように改善されるか？
• RQ3 有限型の合同的論理の圏が有限に局所的に生成可能であることを示せるか？ これにより完全性およびコ完全性が保証される。
• RQ4 代数化可能な論理を、その構造的および意味的性質を保つ圏論的枠組みに自然に埋め込むにはどうすればよいか？
• RQ5 作用素やモリタ同値といった代替的な圏論的枠組みは、論理の同一性および結合子の相互定義可能性の取り扱いをさらに改善できるか？

主な発見

• 有限型の合同的論理の圏 $\mathcal{Q}_f^c$ は、有限に局所的に生成可能である。これは、完全かつコ完全であり、アクセス可能な性質を持つことを意味し、強力な圏論的性質を保証する。
• $\mathcal{S}_s$ と $\mathcal{S}_f$ 間の随伴が、Kleisli 圏が $\mathcal{S}_f$ となるモノイドを誘導する。これにより、論理式に基づく同型射の圏論的基盤が得られる。
• 商圏 $\mathcal{Q}_f$ は、相互導出可能性によって定義される順序で、部分圏に自然な豊かみ構造を持つ。これは、将来的な研究における自然な豊かみ構造の可能性を示唆する。
• 代数化論理の圏 $\mathcal{A}_f$ は適切に定義されており、同型射が同値式を保存する。また、$\mathcal{Q}_f^c$ の反映的部分圏をなす。
• 包含関係の図式により、$\mathcal{L}_f^c$ が $\mathcal{Q}_f^c$ に埋め込まれ、$\mathcal{Q}_f^c$ が良好に動作する論理の本質的構造を捉えていることが示された。これは、従来の圏に見られる問題を解消する。
• 論理の同一性問題は、シグネチャの厳密な同型ではなく、翻訳の相互導出可能性に基づいて同定することで解決される。