[論文レビュー] Towards relative invariants of real symplectic 4-manifolds

Jean-Yves Welschinger|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2005

Geometric and Algebraic Topology参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、実シンプレクティック4次元多様体に対して、$\Gamma^{d,B}_{r}$ と表記される新しい整数値不変量を導入する。この不変量は、実構成の点を通り、$[L] = 0$ を満たす $H_1(\mathbb{R}X; \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ 内の滑らかな曲線 $L \subset \mathbb{R}X$ に接する実有理的 $J$-自己同型曲線を数えるものである。不変量は、曲線ごとに符号を付けて合計する形で定義され、実孤立二重点の質量と、$L$ を境界とする曲面 $B$ との接触指数を組み込む。この不変量は変形不変であり、一般の almost complex 構造および点配置の選択に依存しないことが示されている。

ABSTRACT

Let $(X, ω, c_X)$ be a real symplectic 4-manifold with real part $R X$. Let $L \subset R X$ be a smooth curve such that $[L] = 0 \in H_1 (R X ; Z / 2Z)$. We construct invariants under deformation of the quadruple $(X, ω, c_X, L)$ by counting the number of real rational $J$-holomorphic curves which realize a given homology class $d$, pass through an appropriate number of points and are tangent to $L$. As an application, we prove a relation between the count of real rational $J$-holomorphic curves done in math.AG/0303145 and the count of reducible real rational curves done in math.SG/0502355. Finally, we show how these techniques also allow to extract an integer valued invariant from a classical problem of real enumerative geometry, namely about counting the number of real plane conics tangent to five given generic real conics.

研究の動機と目的

• 実シンプレクティック4次元多様体に対して、実ラグランジュ曲線 $L$ に接する条件を組み込んだ相対不変量を定義すること。
• 文献[9]および[10]の既存の不変量を拡張し、$L$ に接する実有理的 $J$-自己同型曲線の符号付き数え上げを導入すること。
• 同定されたホモロジー類 $d$、$B$ の同値類、点配置データ $r$ のみに依存する変形不変整数値不変量 $\Gamma^{d,B}_{r}$ を確立すること。
• 古典的問題、たとえば5つの実二次曲線に接する実二次曲線の数え上げといった、実数列挙幾何学の問題への応用を示すこと。
• 特異点や複数の接点条件を許容するように構成を一般化し、微小変形のもとで不変性を保つこと。

提案手法

• ホモロジー類 $d$ を実現し、実配置 $\underline{x}$ を通り、$L$ に接する実有理的 $J$-自己同型曲線の符号付き和として不変量 $\Gamma^{d,B}_{r}(J,\underline{x})$ を定義する。
• 各曲線 $C$ に符号 $(-1)^{m(C)}$ を割り当てる。ここで $m(C)$ は $C$ の実孤立二重点の数である。
• 接触指数 $<C,B> \in \{-1, +1\}$ を導入し、曲線と $B$ の交わりが接点近傍で制限されるか、それとも $B$ に沿って曲線が含まれるかに基づく。
• 可約曲線の場合、成分と $B$ の交点の符号付き和として、多重度指数 $\mathop{\rm mult}\nolimits_B(C)$ を定義する。
• 一般の almost complex 構造 $J \in \mathbb{R}\mathcal{J}_\omega$ を用いて、モジュライ空間の正規交差性と有限性を保証する。
• 特に接点と尖点の生成が関与する退化の際の局所的挙動を解析することで、$J$、$\underline{x}$、$B$ の変形に対する不変性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実シンプレクティック4次元多様体に対して、実有理的 $J$-自己同型曲線が実ラグランジュ曲線 $L$ に接するのを数える相対不変量を構成できるか？
• RQ2 $L$ への接点条件を含めることで、従来の不変量と比較して、数え上げの不変性および整数性にどのような影響を与えるか？
• RQ3 同じ設定において、非可約実有理的曲線の数え上げと可約実有理的曲線の数え上げの間にはどのような関係があるか？
• RQ4 $\Gamma^{d,B}_{r}$ 不変量が、5つの実二次曲線に接する実二次曲線の数え上げといった古典的結果を回復または関連付けるのに使えるか？
• RQ5 $L$ が退化（例：2次接触点）を示す際、$B$ の微小同値変換に対する不変量の挙動はいかなるものか？

主な発見

• 不変量 $\Gamma^{d,B}_{r}$ は、一般の almost complex 構造 $J$ や実配置 $\underline{x}$ の選択に依存せず、変形不変である。
• 不変量 $\Gamma^{d,B}_{r}$ は整数値であり、$L$ を固定し、$[L] = 0$ を満たす $H_1(\mathbb{R}X; \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ 内にある限り、$B$ の同値変換に対しても不変である。
• 文献[9]の実有理的 $J$-自己同型曲線の数え上げと、文献[10]の可約曲線の数え上げとの間に、新しい不変量 $\Gamma^{d,B}_{r}$ を介して関係が確立された。
• 5つの一般な実二次曲線に接する実平面二次曲線の数え上げという古典的問題に対して、不変量 $\Gamma^{d,B}_{r}$ は微小変形に対して不変な整数値の数え上げを回復する。
• 一パrameter族の退化において、$L_1^t$ が $L_2$ に対して横断的接触から接点接触に移行するとき、不変量は $2<L_2, B_1^0>$ 倍の、$L_1^0$ および $L_2$ に接する二次曲線の寄与の符号付き和の変化を示し、明確なジャンプ公式を得た。
• 滑らかでない $B$ や $L$ に対しても構成を一般化でき、有限個の分岐点を持つ写像に対しても、$x$ の $B$ への前像の個数を2倍して1を引いた値として接触指数 $<x,B>$ を定義し、不変性を保った。