[論文レビュー] Towards transverse toric geometry

Hiroaki Ishida|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、トーリック多様体と類似する、最大トーラス作用をもつコンパクト複素多様体を分類するための組合せ的不変量として、マークドファンを導入する。このような多様体の基本ドレーファル・コホモロジーは対角以外（p ≠ q）で消え、基本コホモロジーは(1,1)-形式によって生成され、完全非特異トーリック多様体の性質と一致する。

ABSTRACT

We study certain foliated complex manifolds that behave similarly to complete nonsingular toric varieties. We classify them by combinatorial objects that we call marked fans. We describe the basic cohomology algebras of them in terms of corresponding marked fans. We also study the basic Dolbeault cohomology algebras of them.

研究の動機と目的

• 最大トーラス作用をもつコンパクト複素多様体を、マークドファンと呼ばれる組合せ的対象を用いて分類すること。
• このような多様体の基本コホモロジー代数を、それらに付随するマークドファンの言語で記述すること。
• これらの多様体の基本ドレーファル・コホモロジー代数を研究し、ホッジ理論的構造を特定すること。
• これらの分岐多様体と完全非特異トーリック多様体との間で、コホモロジー的性質の類似性を確立すること。

提案手法

• マークドファンを、1次元鋸の生成子を備えた有理的ファンとして導入し、分類のための組合せ的不変量として用いる。
• 最大コンパクトトーラス G のリー代数とその複素構造像 Jg の交わりから生じる、複素多様体 M 上の標準的分岐 F を用いる。
• 分岐 F に関する基本微分形式の複体のコホモロジーとして、基本コホモロジー H^*_B(M) を定義する。
• 適切なパラメータ b に対して、横断的ケーラー形式 ω_b と ω_{b+ε_ie_i} の差から、基本的 (1,1)-形式 τ_i を構成する。
• G_0 における等変コホモロジー H^*_{G_0}(M_0) から基本コホモロジー H^*_B(M_0) への無視写像を用い、コホモロジー類を関連付ける。
• 線形代数と多面体幾何学（P_b と P_{b'} を通じて）を用い、H^2_B(M_0) が (1,1)-形式によって生成されることを示し、対角以外でのホッジ分解の消滅を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最大トーラス作用をもつコンパクト複素多様体は、どのように組合せ的データを用いて分類可能か？
• RQ2 このような多様体の基本コホモロジー代数の構造は何か？
• RQ3 基本ドレーファル・コホモロジー H^{p,q}_B(M) はどのように振る舞い、特にホッジダイヤモンドとどのように関係するか？
• RQ4 これらの多様体は、完全非特異トーリック多様体とどの程度コホモロジー的性質を共有するか？
• RQ5 基本コホモロジーは (1,1)-形式によって生成可能か？ その場合、ホッジ構造にどのような含意があるか？

主な発見

• 基本ドレーファル・コホモロジーは、H^{p,q}_B(M) = 0 (p ≠ q) を満たし、H^{p,p}_B(M) = H^{2p}_B(M) ⊗ ℂ であるため、対角ホッジ構造を示している。
• 基本コホモロジー H^2_B(M_0) は、横断的ケーラー形式の差から定義される写像 L: ℝ^m → H^2_B(M_0) の全射性により、(1,1)-形式によって生成されることが示された。
• 写像 f: M_0 → M は、基本コホモロジーの同型写像 f^*: H^*_B(M) → H^*_B(M_0) を誘導し、ホッジ構造を保存する。
• 適切なパラメータ b に対して、[ω_b] はスケーリングの下で r[ω_{rb}] に比例するため、パラメータ空間における線形性が確認された。
• 写像 L の核は、商空間 V^*_0 の双対空間の像に含まれており、その次元は N−k で有界であるため、L は全射である。
• 同型写像 f^* はホッジ構造を保存するため、M のホッジ分解は M_0 と同様に、対角以外での消滅を示す。