[論文レビュー] Transforming metrics on a line bundle to the Okounkov body

David Witt Nyström|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、任意の大域的正則線分束の連続的メトリックに関連する、オクウンコフ体上の凸関数であるチェビシェフ変換を導入する。2つのメトリック間のメトリック体積の差が、オクウンコフ体上でそれらのチェビシェフ変換の差の積分に等しいことを証明し、古典的結果を一般化するとともに、大域的メトリクス付きR-除的のコーン上でのメトリック体積関数の微分可能性を確立する。

ABSTRACT

Let $L$ be a big holomorphic line bundle on a complex projective manifold $X.$ We show how to associate a convex function on the Okounkov body of $L$ to any continuous metric $ψ$ on $L.$ We will call this the Chebyshev transform of $ψ,$ denoted by $c[ψ].$ Our main theorem states that the difference of metric volume of $L$ with respect to two metrics, a notion introduced by Berman-Boucksom, is equal to the integral over the Okounkov body of the difference of the Chebyshev transforms of the metrics. When the metrics have positive curvature the metric volume coincides with the Monge-Ampère energy, which is a well-known functional in Kähler-Einstein geometry and Arakelov geometry. We show that this can be seen as a generalization of classical results on Chebyshev constants and the Legendre transform of invariant metrics on toric manifolds. As an application we prove the differentiability of the metric volume in the cone of big metrized $\mathbb{R}$-divisors. This generalizes the result of Boucksom-Favre-Jonsson on the differentiability of the ordinary volume of big $\mathbb{R}$-divisors and the result of Berman-Boucksom on the differentiability of the metric volume when the underlying line bundle is fixed.

研究の動機と目的

• 連続的メトリックが大域的正則線分束に関連するオクウンコフ体上に自然に定義される凸関数を定義すること。
• 2つのメトリック体積の差が、オクウンコフ体上でチェビシェフ変換の差の積分に正確に等しい関係を確立すること。
• トーリック多様体における古典的チェビシェフ定数およびラグランジュ変換の一般化。
• 大域的メトリクス付きR-除的のコーン上でのメトリック体積関数の微分可能性を証明し、Boucksom-Favre-JonssonおよびBerman-Boucksomの先行結果を拡張すること。

提案手法

• 連続的メトリック $ \psi $ が大域的線分束 $ L $ に付随するオクウンコフ体上に定義される凸関数 $ c[\psi] $ をチェビシェフ変換と呼ぶ。
• 主な結果は、メトリック体積の差を積分で表すものである：$ \mathrm{vol}(L,\psi_1,\varphi) - \mathrm{vol}(L,\psi_2,\varphi) = n! \int_{\Delta(L)} (c[\psi_1] - c[\psi_2]) \, d\lambda $。
• 証明は、特に、アーメンライン束 $ A $ に対して $ \Delta(L + tA) = \bigcup_{r=0}^t \Delta(L + tA)_r \cup (\Delta(L) + t e_1) $ が成り立つようなオクウンコフ体の変形構造に依存する。
• チェビシェフ変換への基本定理の積分と、モンジュ＝アンプèreエネルギーのコサイクル性質を用いて、メトリック体積の微分可能性を確立する。
• オクウンコフ体のゼロファイバー上でのチェビシェフ変換の連続性および微分可能性を用いて、導関数が存在し、連続的に変化することを保証する。
• 部分積分およびモンジュ＝アンプère測度を用いて、メトリック変形におけるエネルギー関数の変動を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大域的正則線分束上の連続的メトリックが、そのオクウンコフ体上に自然に関連する凸関数としてどのように定義されるか。
• RQ2 メトリクス付き線分束のメトリック体積と、オクウンコフ体上でチェビシェフ変換の積分との正確な関係は何か。
• RQ3 大域的メトリクス付き $ \mathbb{R} $-除的のコーン上で、メトリック体積関数は微分可能のままであるか。
• RQ4 チェビシェフ変換は、トーリック幾何における古典的チェビシェフ定数およびラグランジュ変換をどのように一般化するか。
• RQ5 凸幾何およびオクウンコフ体上の積分変換を用いて、メトリック体積の微分可能性を確立できるか。

主な発見

• 大域的線分束 $ L $ 上の2つの連続的メトリック $ \psi_1 $ と $ \psi_2 $ 間のメトリック体積の差は、$ L $ のオクウンコフ体上でそれらのチェビシェフ変換の差の積分に等しく、その係数は $ n! $ である。
• チェビシェフ変換 $ c[\psi] $ はオクウンコフ体上の凸関数であり、グローバルなオクウンコフ体のゼロファイバーへの連続的拡張は証明において不可欠である。
• メトリックが正の曲率を持つ場合、メトリック体積はモンジュ＝アンプèreエネルギーと一致し、この結果はケーラー＝アラケロフ幾何およびアラケロフ幾何に接続される。
• メトリック体積関数は、大域的メトリクス付き $ \mathbb{R} $-除的のコーン上で微分可能であり、Boucksom-Favre-JonssonおよびBerman-Boucksomの結果を一般化する。
• 変形 $ L + tA $ におけるメトリック体積の導関数は、オクウンコフ体のゼロファイバー上の積分とモンジュ＝アンプèreエネルギーを含む項から構成され、両方とも連続的に変化する。
• 関数 $ f(t) = \mathrm{vol}(L + tA, \psi + t\Psi, \varphi + t\Phi) $ は $ t = 0 $ の近傍で $ \mathcal{C}^1 $ であることが、右微分可能性および連続性の議論によって示される。