[논문 리뷰] Transmission eigenvalues and far field invisibility for a finite number of incident/scattering directions

Anne-Sophie Bonnet-Ben Dhia, Lucas Chesnel외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 30.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 10인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 유한한 수의 입사 및 원거리 분산 방향만 측정 가능한 음향 산란에서 전송 고유값을 조사한다. 특정 물리 조건 하에서 전송 고유값이 이산 집합을 이룬다는 것을 증명하고, 상대 산란 행렬을 정확히 0으로 만듦으로써 원거리 측정에 대해 투명한 포함체를 설계하는 구조적 방법을 제안하며, 이는 수치적으로 근사된 투명 산란체를 생성할 수 있게 한다.

ABSTRACT

Abstract. We investigate a time harmonic acoustic scattering problem by a penetrable inclusion with compact support embedded in the free space. We consider cases where an observer can produce incident plane waves and measure the far field pattern of the resulting scattered field only in a finite number of directions. In this context, we say that a wavenumber is a transmission eigenvalue if the corresponding relative scattering matrix has a non trivial kernel. Under certain assumptions on the physical coefficients of the inclusion, we show that the transmission eigenvalues form a (possibly empty) discrete set. Then, in a second step, for a given real wavenumber and a given domain D, we present a constructive tech-nique to prove that there exist inclusions supported in D for which the corresponding relative scattering matrix is null. These inclusions have the important property to be impossible to detect from far field measurements. The approach leads to a numerical algorithm which is described at the end of the paper and which allows to provide examples of (approximated) invisible inclusions. Key words. Interior transmission problem, invisibility, energy identities, asymptotic analysis, relative scattering matrix. 1

연구 동기 및 목표

• 유한한 수의 입사 및 원거리 분산 방향만 측정 가능한 음향 산란에서 전송 고유값을 분석하기 위해.
• 이러한 제한된 측정 설정 하에서 전송 고유값이 이산 집합을 이룰 조건을 확립하기 위해.
• 상대 산란 행렬이 사라지게 하여 원거리 측정으로부터 감지되지 않는 투과 가능한 포함체를 설계하기 위한 구조적 방법을 개발하기 위해.
• 이러한 투명 포함체의 근사 예를 생성하기 위한 수치 알고리즘을 제공하기 위해.

제안 방법

• 입사 및 원거리 분산 방향의 수가 유한할 때, 상대 산란 행렬의 비자명한 핵을 가지는 파수수를 전송 고유값으로 정의한다.
• 에너지 항등식과 점점 가까워지는 분석을 사용하여, 컴act 지지된 포함체의 맥락에서 산란 행렬과 그 핵의 성질을 도출한다.
• 전달 고유값의 이산성을 보장하기 위해 포함체의 물리적 계수(예: 밀도 및 음속)에 대한 조건을 설정한다.
• 상대 산란 행렬이 정확히 0이 되도록, 주어진 도메인 D 내에 지지된 포함체를 구성한다. 이는 원거리 측정에 대해 투명함을 의미한다.
• 구조적 방법에 기반한 수치 알고리즘을 유도하여, 이러한 투명 포함체의 근사 예를 계산할 수 있도록 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한한 수의 입사 및 원거리 분산 방향만 측정 가능한 조건에서 전송 고유값이 이산 집합을 이룰 조건은 무엇인가?
• RQ2 제한된 측정 구성 조건 하에서 상대 산란 행렬이 정확히 0이 되는 포함체를 구성할 수 있는가?
• RQ3 산란 행렬의 0화를 통해 투명성을 달성하기 위해 포함체의 계수와 지지에 어떤 물리적 및 기하학적 제약이 필요한가?
• RQ4 이러한 투명 포함체의 근사 예를 생성하기 위한 수치 알고리즘은 어떻게 설계할 수 있는가?

주요 결과

• 적절한 포함체 물리 계수에 대한 가정 하에서 전송 고유값은 이산 집합을 이룬다.
• 임의의 주어진 실수 파수수와 도메인 D에 대해, 상대 산란 행렬이 정확히 0이 되는 포함체가 D 내에 존재한다.
• 산란 행렬이 사라지므로 이러한 포함체는 원거리 측정으로부터 감지되지 않으며, 원거리에서 투명함을 의미한다.
• 에너지 항등식과 점점 가까워지는 분석에 기반한 체계적 방법을 통해 이러한 포함체의 구성이 가능하다.
• 투명 포함체의 근사 예를 계산할 수 있도록 하는 수치 알고리즘이 도출되었다.