[論文レビュー] Transportation cost-information and concentration inequalities for bifurcating Markov chains

S. Valère Bitseki Penda, Mikael Escobar‐Bach+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2015

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 33被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Wasserstein距離における緩い収縮と可積分性の条件下で、分岐マルコフ連鎖に対する輸送コスト情報不等式および分散バウンドを確立し、経験平均の非漸近的集中不等式および非線形自己回帰関数の点別推定を可能にする。主な貢献は、先行研究で用いられる強い幾何的エルゴード性仮定を弱めるフレームワークを提供することであり、これにより細胞増殖および集団動態モデルへの応用範囲が広がる。

ABSTRACT

We investigate the transportation cost-information inequalities for bifurcating Markov chains which are a class of processes indexed by binary tree. These processes provide models for cell growth when each individual in one generation gives birth to two offsprings in the next one. Transportation cost inequalities provide useful concentra-tion inequalities. We also study deviation inequalities for the empiri-cal means under relaxed assumptions on the Wasserstein contraction of the Markov kernels. Applications to bifurcating non linear autore-gressive processes are considered: deviation inequalities for pointwise estimates of the non linear leading functions.

研究の動機と目的

• 均一な幾何的エルゴード性よりも弱い仮定の下で、分岐マルコフ連鎖における経験平均の非漸近的分散不等式を構築すること。
• Wasserstein収縮と可積分性を活用して、分岐マルコフ連鎖フレームワークへの輸送コスト情報不等式の拡張を行うこと。
• 細胞系統過程における非線形自己回帰関数の非パラメトリック推定のための実用的集中バウンドを提供すること。
• 細胞分裂の非コンパクトかつより現実的なモデルに適用可能なように、先行研究における強いエルゴード性仮定を弱めること。
• 有限標本における集中バウンドを導出することで、限られたデータにおける分岐過程の統計的推論を可能にすること。

提案手法

• 輸送コスト情報不等式を用いて、分岐マルコフ連鎖の加法的関数への集中バウンドを導出する。
• ラプラス法とモーメント母関数の直接的制御を用いて、Wasserstein距離における緩い収縮の下で分散不等式を導出する。
• 遷移核の自己正規化推定量を導入し、バイアス項とフラクチュエーション項に分解することでその分散を分析する。
• 帯域 $ h_n $ を用いたカーネル密度推定を用いて、主関数 $ f_0 $ および $ f_1 $ の点別推定量を構築し、これらの推定量の集中バウンドを導出する。
• 不変測度および周辺遷移核 $ P_0, P_1 $ を用いて、推定誤差におけるバイアス項を制御する。
• カーネル関数のリプシッツ連続性と経験過程技術を用いて、分散不等式におけるフラクチュエーション項をバウンドする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 均一な幾何的エルゴード性を要件としないで、分岐マルコフ連鎖における経験平均の分散不等式を確立できるか？
• RQ2 木構造インデックスの特性を持つ分岐マルコフ連鎖に適応可能な輸送コスト情報不等式はどのように構築できるか？
• RQ3 細胞系統モデルにおける非線形自己回帰関数の点別推定量の非漸近的集中性はどのような性質を示すか？
• RQ4 Wasserstein収縮と可積分性の条件が、このフレームワークにおける経験平均の分散バウンドにどのように影響するか？
• RQ5 自己正規化推定量としての遷移核推定量は、有限標本における集中保証を伴って分析可能か？

主な発見

• 本稿は、Wasserstein収縮と一様可積分性の下で、分岐マルコフ連鎖に対する輸送コスト情報不等式を確立し、非漸近的集中バウンドを可能にする。
• 均一な幾何的エルゴード性を排除した緩い仮定の下で、経験平均の分散不等式が導出される。
• 非線形自己回帰関数 $ f_0 $ および $ f_1 $ の点別推定が、$ \\bbP(|\tilde{f}_{0,n}(x) - f_0(x)| > r) \to 0 $ として $ n \to \infty $ のとき収束する分散不等式を満たすことが示され、バイアス項とフラクチュエーション項による明示的制御が可能である。
• バイアス項 $ \\bbE[\tilde{N}_n] \to 0 $ およびフラクチュエーション項 $ \\bbE[\tilde{D}_n] \to \nu(x) $ が成り立ち、ここで $ \nu $ は不変密度であるため、一貫性が保証される。
• カーネルベース推定量では、分散バウンドがカーネルのリプシッツノルムと帯域に依存し、フラクチュエーション項は経験平均の集中性によって制御される。
• 誤差密度 $ g_\varepsilon $ がリプシッツ連続である限り、遷移核推定量 $ \widehat{P}_n(x,y,z) $ の分散不等式は関数推定量と同程度のオーダーに保たれることが示された。