[論文レビュー] Triangulated category of effective $Witt$-motives $DWM^-_{eff}(k)$

Andrei Druzhinin|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、特徴が 2 でない完備体 $k$ に対して、Voevodsky-Suslin の手法を用いて、射影的 $k[X]$-加群に付随する対称同型写像を用いて定義される Witt 対応を通じて、有効な Witt モチーフの三角カテゴリ $DWM^{-}_{\text{eff}}(k)$ を構成する。主な結果として、滑らかでアフィンな $X$ 及びホモトピー的不変な Nisnevich シェーブー $\/mathscr{F}$ に対して、自然な同型 $ \operatorname{Hom}_{DWM^{-}_{\text{eff}}(k)}(WM(X),\mathscr{F}[i]) \simeq H^i_{\text{Nis}}(X,\mathscr{F})$ が確立され、モチーフコホモロジーの枠組みが Witt 理論的状況へ一般化される。

ABSTRACT

The category of effective $Witt$-motives $DWM^-(k)$ with functor $WM\colon Sm_k o DWM^-(k)$ defining motives of smooth affine varieties for perfect field $k$, $char k eq 2$ is constructed. In the construction Voevodsky-Suslin method is applyed to a category of $Witt$-correspondence between affine smooth varieties $WCor_k$ that morphisms are defined by class in $Witt$-group of quadratic space $(P,q_P)$ with $P$ being $k[X imes Y]$-module finitely generated projective over $k[X]$ and $q_P\colon P o Hom_{k[X]}(P,k[X])$ being $k[X imes Y]$-liner isomorphism. And the natural isomorphism $$Hom_{DWM^-_{eff}(k)}(WM(X),\mathcal F[i]) \simeq H^i_{Nis}(X,\mathcal F) $$ for any smooth affine $X$ and homotopy invariant Nisnevich sheave $\mathcal F$ with $Witt$-transfers (that is presheave on the category $WCor_k$ such that its restriction on the category $Sm_k$ is a sheave) is proved.

研究の動機と目的

• 特徴が 2 でない完備体 $k$ に対して、Voevodsky の $DM^{-}(k)$ の構成を一般化し、有効な Witt モチーフの三角カテゴリ $DWM^{-}_{\text{eff}}(k)$ を構成すること。
• 滑らかでアフィンな代数的多様体に Witt 対応を用いて Witt モチーフを割り当てる関手 $WM: \text{Sm}_k \to DWM^{-}_{\text{eff}}(k)$ を定義すること。
• ホモトピー的不変な Witt トランスファーを持つシェーブーのための、$DWM^{-}_{\text{eff}}(k)$ 内の射の群と Nisnevich コホモロジー群との間の自然な同型を確立すること。
• ホモトピー的不変なプレシェーブーに Witt トランスファーを持つ場合、Nisnevich シェーブリー化がホモトピー的不変性を保つことを証明し、以前の結果を強化すること。
• Nisnevich シェーブーに Witt トランスファーを持つカテゴリ $ShNisWtr$ がアーベル的であり、モチーフのための導来カテゴリフレームワークを支持することを示すこと。

提案手法

• 滑らかでアフィンな多様体間の Witt 対応のカテゴリ $WCor_k$ を構成し、その射は $k[X \times Y]$-加群 $P$ で、$k[X]$-加群として有限生成な射影的加群であり、対称的な $k[X \times Y]$-線形同型写像 $q_P: P \to \operatorname{Hom}_{k[X]}(P, k[X])$ を持つものとして与えられる。
• Witt 対応のプレシェーブー $WCor(-, Y)$ を定義し、Nisnevich 位相でシャーファイする。これにより $WCor_{Nis}(-, Y)$ を得て、モチーフ構成の基盤を築く。
• Nisnevich シェーブーに Witt トランスファーを持つ有界上方の複体のカテゴリ $D^{-}(ShNisWtr_k)$ を導入し、これがアーベル的であり、導来カテゴリを支持することを証明する。
• Zariski および étale の切除同型写像を用いて、ホモトピー的不変なプレシェーブーに Witt トランスファーを持つ場合、その Nisnevich シェーブリー化 $\mathscr{F}_{\text{Nis}}$ が厳密にホモトピー的不変であることを示す。
• ホモトピー的不変なコホモロジー・シェーブーを持つ複体からなる $D^{-}(ShNisWtr_k)$ のフル部分カテゴリとして、カテゴリ $DWM^{-}_{\text{eff}}(k)$ を構成する。
• 半直交分解および局所化を用いて、$DWM^{-}_{\text{eff}}(k)$ が $D^{-}(ShNisWtr_k)$ の、射 $X \times \mathbb{A}^1 \to X$ での局所化と同値であることを示し、随伴および Ext 同型を用いて主要な同型を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Voevodsky-Suslin の手法を、古典的対応の代わりに Witt 対応を用いて、有効な Witt モチーフの三角カテゴリを構成するために適応可能か？
• RQ2 ホモトピー的不変なプレシェーブーに Witt トランスファーを持つ場合、その Nisnevich シェーブリー化は厳密にホモトピー的不変のままであるか？
• RQ3 滑らかでアフィンな $X$ 及びホモトピー的不変な $ /mathscr{F}$ に対して、$ \operatorname{Hom}_{DWM^{-}_{\text{eff}}(k)}(WM(X), \mathscr{F}[i])$ と Nisnevich コホモロジー $H^i_{\text{Nis}}(X, \mathscr{F})$ の間に自然な同型が存在するか？
• RQ4 Nisnevich シェーブーに Witt トランスファーを持つカテゴリ $ShNisWtr_k$ がアーベル的であり、導来カテゴリフレームワークを支持するか？
• RQ5 カテゴリ $DWM^{-}_{\text{eff}}(k)$ は、射 $X \times \mathbb{A}^1 \to X$ での $D^{-}(ShNisWtr_k)$ の局所化と同値か？

主な発見

• カテゴリ $DWM^{-}_{\text{eff}}(k)$ は、$D^{-}(ShNisWtr_k)$ のホモトピー的不変部分として構成され、すべての滑らかでアフィンな $X$ に対して射 $X \times \mathbb{A}^1 \to X$ での局所化と同値である。
• ホモトピー的不変なプレシェーブーに Witt トランスファーを持つ任意のものについて、その Nisnevich シェーブリー化 $\mathscr{F}_{\text{Nis}}$ は、Zariski および étale の切除同型写像を用いて厳密にホモトピー的不変であることが示された。
• Nisnevich シェーブーに Witt トランスファーを持つカテゴリ $ShNisWtr_k$ はアーベル的であり、導来カテゴリの構成と $DWM^{-}_{\text{eff}}(k)$ をフル部分カテゴリとして定義するための基盤を提供する。
• すべての滑らかでアフィンな $X$ 及びホモトピー的不変な $ /mathscr{F}$ に対して、主要な同型 $ \operatorname{Hom}_{DWM^{-}_{\text{eff}}(k)}(WM(X), \mathscr{F}[i]) \simeq H^i_{\text{Nis}}(X, \mathscr{F})$ が成立し、モチーフコホモロジーが Witt 理論的状況へ一般化される。
• 導来カテゴリ $D^{-}(ShNisWtr_k)$ は半直交分解 $\langle \mathcal{B}, \mathcal{A} \rangle$ を持ち、ここで $\mathcal{B}$ は射 $X \times \mathbb{A}^1 \to X$ のコーンによって生成され、$\mathcal{A}$ は $DWM^{-}_{\text{eff}}(k)$ と同値である。これにより、局所化性質が確認される。
• 関手 $WM: \text{Sm}_k \to DWM^{-}_{\text{eff}}(k)$ は、$l_{\mathbb{A}} \circ \widetilde{(-)}_{\text{Nis}} \circ Wtr \circ \mathbb{Z}(-)$ の合成として定義され、各滑らかでアフィンな多様体にその Witt モチーフを導来カテゴリ内に割り当てる。