[論文レビュー] Triangulordinary Selmer Groups

Jonathan Pottharst|ArXiv.org|May 16, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ロッバ環上の$(\varphi,\Gamma_K)$-加群における非エタール的挙動を許容する、通常表現の一般化である「三角普通（triangulordinary）」ガロア表現を導入する。これにより、Bloch–KatoとGreenbergのセレマー条件を統一的な枠組みで扱えるようになる。本稿では、これらの表現に対してBloch–Katoの局所条件がGreenbergのセレマー条件と一致することを示し、Coleman–Mazurの固有曲線（固有曲面）に沿ってセレマー群を定義するための変動的プログラムを提案する。このプログラムでは、$(\varphi,\Gamma_K)$-加群と三角普通フィルトレーションの補間を用いる。

ABSTRACT

Let $p$ be a prime number, and let $K$ be a $p$-adic local field. We study a class of semistable $p$-adic Galois representations of $K$, which we call {\it triangulordinary} because it includes the ordinary ones yet allows non-étale behavior in the associated $(ϕ,Γ_K)$-modules over the Robba ring. Our main result provides a description of the Bloch--Kato local condition of such representations. We also propose a program, using variational techniques, that would give a definition of the Selmer group along the eigencurve of Coleman--Mazur, including notably its nonordinary locus.

研究の動機と目的

• 非通常の設定へのグリーンバーグの通常イワサワ理論の一般化を、$p$-進ガロア表現のクラスを導入することによって行い、通常表現の主要な構造的特徴を保ちながら、$(\varphi,\Gamma_K)$-加群における非エタール的挙動を許容する。
• これらの表現に対してBloch–Katoの局所条件を統一的に記述し、完全体の残差体を仮定しない条件下で、それがグリーンバーグのセレマー条件と一致することを示す。
• Coleman–Mazurの固有曲線およびその円周的捩れ（固有曲面）に沿って、セレマー群を定義するための変動的枠組みを提案し、既知の結果を非通常の領域へ拡張する。
• 収束的固有形式の族に起因する自然なフィルトレーションの欠如を補うために、固有曲線全体にわたって補間可能な三角普通フィルトレーションを用いる。

提案手法

• 三角普通表現を定義する。これは、ロッバ環上の$(\varphi,\Gamma_K)$-加群が通常表現のそれと同型であるが、$\varphi$-勾配構造においては例外的である可能性を除いては同型である。
• $(\varphi,\Gamma_K)$-加群の理論を用いて、$p$-進ホッジ理論とガロアコホモロジーを分析し、$\varphi$-勾配が主要な不変量にほとんど影響しないという事実を活用する。
• Bloch–KatoとGreenbergの局所条件の比較を確立し、三角普通表現に対して両者が一致することを示す。これにより、フラッチの結果を任意の完全体の残差体へ一般化する。
• 変動的プログラムを提案する：固有曲線および固有曲面全体にわたって、固有形式の族と円周的捩れを用いて、$(\varphi,\Gamma_K)$-加群と三角普通フィルトレーションを補間する。
• ガロア理論が族に誘導する自然なフィルトレーションを用いて、三角普通フラグ$F^1$から導かれる局所条件$H^1_{\nabla\text{ord}}$を介してセレマー群を定義する。
• 重み空間$\mathscr{W}$上の普遍的特徴$\mathscr{T}$を用いて、固有曲線の円周的変形を構成し、自明な特徴のフィルトレーションを変形することで、フラグの自然なインデックスづけが可能であると主張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グリーンバーグのイワサワ理論におけるセレマー条件を、通常の領域を超えて非通常の$p$-進ガロア表現へ拡張することは可能か？
• RQ2 セレマー条件の単純さを保ちつつ、非エタール的$(\varphi,\Gamma_K)$-加群を許容する、通常条件の自然な一般化は存在するか？
• RQ3 変形論的または変動的技法を用いて、固有曲線全体（非通常点を含む）にわたり、一貫的かつ自然なセレマー群の定義を与えることは可能か？
• RQ4 ホッジ＝テイト重量が固有曲面全体で独立に変化する族において、三角普通フィルトレーションのインデックスづけはどのように行うべきか？
• RQ5 局所条件$H^1_{\nabla\text{ord}}$を固有曲線全体に補間する正しい方法は何か？また、$p$-進$L$-関数とはどのような関係にあるか？

主な発見

• 三角普通表現のBloch–Kato局所条件は、グリーンバーグのセレマー条件と一致する。これは、フラッチの結果を任意の完全体の残差体へ一般化するものである。
• $(\varphi,\Gamma_K)$-加群の$\varphi$-勾配は、三角普通表現の$p$-進ホッジ理論的不変量に対してほとんど本質的ではないことが示された。
• 提案された変動的プログラムにより、固有曲線に沿ったセレマー群$H^1_{\nabla\text{ord}}(\mathbb{Q}, \mathscr{E}^0)$の候補定義が得られ、既知の結果が非通常領域へ拡張された。
• 固有曲線の円周的変形$\widetilde{\mathscr{V}}^0$に対して、三角普通フラグは通常のフィルトレーションと普遍的特徴$\mathscr{T}$の引き戻しにより構成可能であり、well-definedな局所条件が得られる。
• 固有曲面における三角普通フラグのインデックスづけは一般には自然ではないが、自明な特徴のフィルトレーションを変形するという動機により、$F^1$をランク1成分として取ることが自然な選択である。
• セレマー群$H^1_{\nabla\text{ord}}(\mathbb{Q}, \widetilde{\mathscr{E}}^0)$は、固有曲面に沿って変化する解析的$p$-進$L$-関数と関係すると予想されるが、非整数性および非有界性のため、正確な関係はまだ明確でない。