[論文レビュー] Tutte polynomials and random-cluster models in Bernoulli cell complexes

Yasuaki Hiraoka, Tomoyuki Shirai|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2016

Topological and Geometric Data Analysis被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、恒常ホモロジーとトゥッテ多項式を用いて、ベルヌーイ細胞複体上のランダムクラスターモデルの高次元一般化を提案する。期待される恒常ホモロジーの寿命合計に対する明示的公式を、一般化されたトゥッテ多項式を用いて導出し、ε-ランダムクラスターモデルの正の相関関係を確立し、トゥッテ多項式を介して位相的不変量と結びつける。

ABSTRACT

This paper studies Bernoulli cell complexes from the perspective of persistent homology, Tutte polynomials, and random-cluster models. Following the previous work [9], we first show the asymptotic order of the expected lifetime sum of the persistent homology for the Bernoulli cell complex process on the $\ell$-cubical lattice. Then, an explicit formula of the expected lifetime sum using the Tutte polynomial is derived. Furthermore, we study a higher dimensional generalization of the random-cluster model derived from the Edwards-Sokal type coupling, and show some basic results such as the positive association and the relation to the Tutte polynomial.

研究の動機と目的

• グラフを超える高次元細胞複体へのランダムクラスターモデルの枠組みの拡張を図ること。
• ε-立方格子に基づくベルヌーイ細胞複体における恒常ホモロジーの期待寿命合計の漸近的挙動を分析すること。
• コホモロジーを用いて高次元に一般化されたエドワーズ＝ソーカルカップリングを構築し、Pottsモデルと結びつけること。
• 任意の細胞複体に対してε-ランダムクラスターモデルとε-トゥッテ多項式の間の関係を確立すること。
• ε-ランダムクラスターモデルの正の相関関係を証明し、相転移解析への適用可能性を保証すること。

提案手法

• 各ε-細胞σに対して、[0,1]に一様に独立な確率変数t_σを割り当てることで、細胞複体X上のフィルトレーションX(t) = X^{ε-1} ⊔ {σ : t_σ ≤ t}を定義する。
• 恒常ホモロジーを用いてフィルトレーションに伴うホモロジー類の進化を追跡し、非自明なホモロジー類の持続期間の合計を寿命合計と定義する。
• 部分複体の位相的不変量を符号化する一般化されたε-トゥッテ多項式T_ε(X;x,y) = ∑_{F ⊂ X_ε} (x-1)^{β_{ε-1}(X_F)} (y-1)^{β_ε(X_F)} を導入する。
• 重みp^{|Y_ε|}(1-p)^{|X_ε \setminus Y_ε|} q^{β_{ε-1}(Y)} を持つX上のε-ランダムクラスターメジャーμ_{p,q}を定義し、Mayer-Vietorisの不等式を用いてその正の相関関係を証明する。
• 正規化定数Z_{p,q}と一般化されたトゥッテ多項式との明示的関係をZ_{p,q} = ((p/(1-p))^{β_{ε-1}(X)} p^{r(X)} (1-p)^{β_ε(X^{ε})} T_ε(X; 1+(q(1-p)/p), 1/(1-p)) として確立する。
• FKGラティス性とMayer-Vietoris完全列を用いて、q ≥ 1のときμ_{p,q}の正の相関関係を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ε-立方格子上のε-ベルヌーイ細胞複体プロセスにおける恒常ホモロジーの期待寿命合計の漸近的次数は何か？
• RQ2 任意の細胞複体に対して、恒常ホモロジーの期待寿命合計は一般化されたトゥッテ多項式を用いて明示的に表現可能か？
• RQ3 エドワーズ＝ソーカルカップリングはどのように高次元細胞複体に一般化され、その位相的解釈は何か？
• RQ4 ε-ランダムクラスターモデルの基本的確率的性質（例：正の相関関係）は、位相的不変量にどのように依存するか？
• RQ5 ε-ランダムクラスターモデルの正規化定数はε-トゥッテ多項式とどのように関係するか？

主な発見

• ε-ベルヌーイ細胞複体がε-立方格子上に存在する場合、恒常ホモロジーの期待寿命合計はn → ∞のときn^{ε}のオーダーに漸近的になる。これはフリーズの定理の一般化である。
• 一般化されたε-トゥッテ多項式を用いて、期待寿命合計の明示的公式が導出され、位相的不変量に基づく表現が得られた。
• q ≥ 1のとき、ε-ランダムクラスターモデルは正の相関関係を示す。これはMayer-Vietorisの不等式とFKGラティス性を用いて証明された。
• ε-ランダムクラスターモデルの正規化定数Z_{p,q}は、((p/(1-p))^{β_{ε-1}(X)} p^{r(X)} (1-p)^{β_ε(X^{ε})} T_ε(X; 1+(q(1-p)/p), 1/(1-p)) として表現され、ε-トゥッテ多項式と直接的に関連づけられた。
• エドワーズ＝ソーカルカップリングはコホモロジーを用いて高次元に一般化され、ε-ランダムクラスターモデルとε-Pottsモデルとの間の関係が確立された。
• p → 0かつq/p → 0のとき、ε-ランダムクラスターメジャーはε-スパンニングアサイクル上の一様測度に収束し、位相的構造における極限の一様性が示された。