[論文レビュー] TVS-cone metric spaces as a special case of metric spaces

Ivan D. Aranđelović, Dragoljub J. Kečkić|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2012

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 6被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、TVS-錐距離空間が、互いに同値な実数値距離の族によって標準的距離空間と同等であることを示しており、固定点結果がTVS-錐空間へ一般化されているのは、実際には既存の距離空間の結果の再表現にすぎず、真の一般化ではないことを証明している。主な貢献は、TVS-錐距離空間の圏が標準的距離空間の真部分圏であることを示したことであり、これにより、このような一般化の多くが論理的に余分であることが明らかになる。

ABSTRACT

There have been a number of generalizations of fixed point results to the so called TVS-cone metric spaces, based on a distance function that takes values in some cone with nonempty interior (solid cone) in some topological vector space. In this paper we prove that the TVS-cone metric space can be equipped with a family of mutually equivalent (usual) metrics such that the convergence (resp. property of being Cauchy sequence, contractivity condition) in TVS sense is equivalent to convergence (resp. property of being Cauchy sequence, contractivity condition) in all of these metrics. As a consequence, we prove that if a topological vector space $E$ and a solid cone $P$ are given, then the category of TVS-cone metric spaces is a proper subcategory of metric spaces with a family of mutually equivalent metrics (Corollary 3.9). Hence, generalization of a result from metric spaces to TVS-cone metric spaces is meaningless. This, also, leads to a formal deriving of fixed point results from metric spaces to TVS-cone metric spaces and makes some earlier results vague. We also give a new common fixed point result in (usual) metric spaces context, and show that it can be reformulated to TVS-cone metric spaces context very easy, despite of the fact that formal (syntactic) generalization is impossible. Apart of main results, we prove that the existence of a solid cone ensures that the initial topology is Hausdorff, as well as it admits a plenty of convex open sets. In fact such topology is stronger then some norm topology.

研究の動機と目的

• TVS-錐距離空間が、互いに同値な実数値距離の族によって標準的距離空間と同等であることを示すこと。
• TVS-錐距離空間における収束、コーシー列、および収縮性条件が、標準的距離空間におけるそれらと同等であることを示すこと。
• 標準的距離空間からTVS-錐距離空間へ固定点定理を一般化することは、実際にはそれらが既存の結果にすでに包含されているため、意味を持たないことを証明すること。
• 位相線形空間における固体錐の存在が、ハウスドルフ位相と豊富な凸開近傍を有する位相を保証することを確立すること。
• 固定点結果を標準的距離空間からTVS-錐距離空間へ拡張するための形式的構文的アルゴリズムを提示すること、ただし、このような一般化は冗長であることを踏まえて。

提案手法

• Duが導入したスカラライゼーション関数を用いて、底辺の位相線形空間 E 上に、固体錐の内部に属する固定された要素と関連するスカラライゼーション関数によって誘導される実数値ノルムの族を構成する。
• 誘導されたノルムが互いに同値であることを示し、任意のノルムにおける収束がTVS-錐距離位相における収束と同等であることを示す。
• 本稿では、TVS-錐距離空間におけるコーシー列が、誘導された実数値距離におけるコーシー列と正確に一致することを証明する。
• TVS-錐設定における連続関数および一様連続関数が、誘導された距離空間における連続関数および一様連続関数と対応することを確立する。
• 関数のクラス Ψ₂ を定義し、それらが誘導する実数値関数 φ_k が Φ₂ に属することを示し、これにより既知の固定点定理を標準的距離空間に適用可能にする。
• 固定点結果を標準的距離空間からTVS-錐距離空間へ自動的に拡張するための形式的構文的アルゴリズムを提案する。このアルゴリズムは、スカラライゼーションとノルムの同値性を介して実行される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的距離空間からTVS-錐距離空間への固定点結果の一般化は、論理的に意味のあるものであるのか、それとも既存の結果の再表現にすぎないのか？
• RQ2 TVS-錐距離空間における収束およびコーシー列の性質は、同値な実数値距離の族によって完全に特徴付けられるか？
• RQ3 位相線形空間における固体錐の存在は、ハウスドルフ性およびゼロの周りの凸開近傍の豊富な供給といった、より強い位相的性質を示唆するか？
• RQ4 TVS-錐距離空間における固定点定理は、形式的変換を介して、標準的距離空間の対応する結果から体系的に導出可能か？
• RQ5 スカラライゼーションおよびノルム構成の下で、TVS-錐距離空間における収縮性条件は、標準的距離空間におけるそれらと同等か？

主な発見

• TVS-錐距離空間が、互いに同値な実数値距離の族によって標準的距離空間と同等であることが示され、TVS-錐距離空間の圏が標準的距離空間の真部分圏であることが明らかになった。
• TVS-錐距離空間における収束およびコーシー列の性質が、誘導された実数値距離におけるそれらと同等であるため、新たな位相的構造は導入されていない。
• 位相線形空間における固体錐の存在が、初期位相がハウスドルフであり、ゼロの周りに豊富な凸開近傍を含むことを保証する。
• スカラライゼーション関数が位相線形空間 E 上にノルムを誘導し、すべてのこのようなノルムが互いに同値であるため、収束およびコーシー性の性質が保存される。
• Ψ₂ に属する関数を含むTVS-錐距離空間における収縮性条件は、誘導された実数値関数 φ_k ∈ Φ₂ を介して、標準的距離空間における条件と正確に一致する。
• 固定点結果を標準的距離空間からTVS-錐距離空間へ自動的に拡張するための形式的構文的アルゴリズムが提示され、このような一般化が冗長であるだけでなく、機械的に導出可能であることが示された。