[論文レビュー] Twisted Space-Time Symmetry, Non-Commutativity and Particle Dynamics

J. Lukierski, Mariusz Woronowicz|ArXiv.org|Dec 5, 2005

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 3被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、定数、リー代数的、および二次的交換関係を有する非可換ミンコフスキー空間において、量子ポアンカレ共変性を達成するためにねじれ空間時間対称性を導入する。Poincaré Hopf代数のねじれ変形を用いることで、著者らはねじれ対称性に関して不変な相対論的および非相対論的粒子モデルを構築し、非可換性が量子変形された相対論的対称性から自然に生じることを示している。

ABSTRACT

We describe the twisted space-time symmetries which imply the quantum Poincaré covariance of noncommutative Minkowski spaces, with constant, Lie algebraic and quadratic commutators. Further we present the relativistic and nonrelativistic particle models invariant respectively under twisted relativistic and twisted Galilean symmetries.

研究の動機と目的

• 定数または高次交換関係を有する非可換時空におけるローレンツおよび移動対称性の破れ問題を解決すること。
• 非可換ミンコフスキー時空上での相対論的および非相対論的粒子力学を、ねじれ量子対称性に関して不変に定式化すること。
• ねじれ変形されたHopf代数を用いて、非可換時空における量子ポアンカレ共変性の体系的枠組みを確立すること。
• 基本的質量スケール $\kappa$ を通じて、時空の非可換構造と量子重力効果との関係を確立すること。
• 非可換場の理論の適用範囲を定数交換関係のケースに限定せず、線形および二次的変形を含むように拡張すること。

提案手法

• 古典的ポアンカレHopf代数のねじれ変形を、ねじれ要素 $\mathcal{F} \in \mathcal{U}(\mathcal{P}_4) \otimes \mathcal{U}(\mathcal{P}_4)$ を用いて実行し、代数的関係を保ちつつ、コールゲブラ的セクターのみを変更する。
• ねじれコプロダクト $\Delta(h) = \mathcal{F} \Delta_0(h) \mathcal{F}^{-1}$ およびアンチポード $S(h) = U S_0(h) U^{-1}$ を用いて、非可換時空モジュール上の量子群作用を定義する。
• 非可換代数 $[\widehat{x}_\mu, \widehat{x}_\nu] = \frac{i}{\kappa^2} \theta_{\mu\nu}^{(0)} + \frac{i}{\kappa} \theta_{\mu\nu}^{(1)\rho} \widehat{x}_\rho + i \theta_{\mu\nu}^{(2)\rho\tau} \widehat{x}_\rho \widehat{x}_\tau$ を、ねじれHopf代数のモジュールとして導出する。
• 変数変換 $y_\mu = x_\mu + \frac{1}{a} \theta_{\mu\nu} p^\nu$ を用いて非可換座標を有する相対論的粒子作用を構築し、ねじれローレンツ変換に関して不変な変形作用を与える。
• ねじれ $\mathcal{F}^{NR}_{\theta} = \exp\left(\frac{i}{a} \theta_{ij} P_i \wedge P_j\right)$ を用いて、$D=2+1$ 次元以上で非相対論的モデルを導出し、ねじれガリレオ対称性に関して不変に保つ。
• 正準変換およびFaddeev-Jackiw還元を用いて、第一階作用と非可換粒子モデルとの間の同等性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定数、リー代数的、および二次的交換関係を有する非可換ミンコフスキー時空を、量子ポアンカレ対称性に関して共変にできるか？
• RQ2 古典的ポアンカレ対称性が非可換性によって破壊された場合、ねじれ変形が共変性を回復する役割を果たすか？
• RQ3 高次交換関係を有する非可換時空上での相対論的および非相対論的粒子力学を一貫して定式化できるか？
• RQ4 パrameter $\kappa$ を通じて、時空の非可換構造と量子重力効果との関係は何か？
• RQ5 非可換粒子モデルは第一階作用から導出可能であり、Duval や Horvathy のモデルと関連づけられるか？

主な発見

• ねじれポアンカレHopf代数により、定数、線形、二次的交換関係を有する非可換ミンコフスキー時空の量子ポアンカレ共変性が保証される。
• 非可換代数 $[\widehat{x}_\mu, \widehat{x}_\nu] = \frac{i}{\kappa^2} \theta_{\mu\nu}^{(0)} + \frac{i}{\kappa} \theta_{\mu\nu}^{(1)\rho} \widehat{x}_\rho + i \theta_{\mu\nu}^{(2)\rho\tau} \widehat{x}_\rho \widehat{x}_\tau$ は、ねじれHopf代数のモジュールとして自然に生じる。
• 相対論的粒子作用 $S = \int d\tau \left[ \dot{x}_\mu p^\mu - e(p^2 - m^2) + \frac{1}{a} \theta^{\mu\nu} \dot{p}_\mu p_\nu \right]$ は、$a = 2\kappa^2$ のもとでねじれローレンツ変換に関して不変である。
• $D=2+1$ における非相対論的モデル $S_{NR} = \int dt \left[ \dot{x}_i \dot{p}_i - \frac{1}{2m} \vec{p}^2 + \frac{1}{a} \theta_{ij} \dot{p}_i p_j \right]$ は、$\mathcal{F}^{NR}_{\theta} = \exp\left(\frac{i}{a} \theta_{ij} P_i \wedge P_j\right)$ によって生成されるねじれガリレオ対称性に関して不変である。
• $D=2+1$ における $\theta_{ij} = \epsilon_{ij}$ の場合、モデルはDuvalとHorvathyが提案したものと同等であり、Faddeev-Jackiw還元を用いて第一階作用から導出可能である。
• ねじれ構成は、$\theta^{(1)\rho}_{\mu\nu}$ および $\theta^{(2)\rho\tau}_{\mu\nu}$ の特定のクラスのテンソルのみを選択し、量子対称性と整合性を保つ。