[論文レビュー] Twisting of the Quantum double and the Weyl algebra

Byung-Jay Kahng|ArXiv.org|Aug 31, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、局所コンpakto な群 $G$ のための量子二重 $D(G)$ のねじれ双対として、$C^*$-代数的構成によりウェイル代数を提示する。量子 $R$-行列を用いて余乗法を変形し、新たな代数的構造を導出する。主な結果として、$D(G)$ のねじれ双対が $C_0(G) \rtimes_\tau G$ に同型であり、これは自身がコンパクト作用素代数 $\mathcal{K}(L^2(G))$ に同型であることが示され、ルの有限次元結果が $C^*$-代数的量子群の文脈へ拡張される。

ABSTRACT

Quantum double construction, originally due to Drinfeld and has been since generalized even to the operator algebra framework, is naturally associated with a certain (quasitriangular) $R$-matrix ${\mathcal R}$. It turns out that ${\mathcal R}$ determines a twisting of the comultiplication on the quantum double. It then suggests a twisting of the algebra structure on the dual of the quantum double. For $D(G)$, the $C^*$-algebraic quantum double of an ordinary group $G$, the "twisted $\hat{D(G)}$" turns out to be the Weyl algebra $C_0(G) imes_τG$, which is in turn isomorphic to ${\mathcal K}(L^2(G))$. This is the $C^*$-algebraic counterpart to an earlier (finite-dimensional) result by Lu. It is not so easy technically to extend this program to the general locally compact quantum group case, but we propose here some possible approaches, using the notion of the (generalized) Fourier transform.

研究の動機と目的

• 局所コンパクト量子群の $C^*$-代数的枠組みへ、ルの量子二重とウェイル代数に関する有限次元結果を拡張すること。
• 量子 $R$-行列 $\mathcal{R}$ を用いて、$C^*$-代数的量子二重 $A_D = D(G)$ の双対代数 $\widehat{A_D}$ のねじれを定義すること。
• 得られるねじれ双対代数が、ウェイル代数 $C_0(G) \rtimes_\tau G$ に同型であり、それ自体が $\mathcal{K}(L^2(G))$ に同型であることを確立すること。
• 一般の局所コンパクト量子群へこの構成を拡張するための一般的な枠組みを提示すること。

提案手法

• 量子二重 $N_D$ に関連する量子 $R$-行列 $\mathcal{R} \in N_D \otimes N_D$ を用い、余乗法 $\Delta_D$ の左コサイクルを定義し、余乗法のねじれを可能にする。
• 双対代数 $\widehat{A_D}$ にねじれを適用し、$C_c(G \times G)$ 上に変形された積 $\times_\mathcal{R}$ を導出する。これはフーリエ変換とハール測度構造に基づく。
• 一般化されたフーリエ変換とハール測度を用いた双対ペアリングを用いて、有限次元双対性に依存しないねじれ双対代数の定義を実現する。
• 積分を用いて変形された積を明示的に導出する：$(a \times b) \times_\mathcal{R} (a' \otimes b')(s,t) = \int a(z)b(t)a'(z^{-1}s)b'(z^{-1}t) \, dz$ であり、ウェイル代数の積構造と一致する。
• 乗法的ユニタリ作用素 $\hat{W}$ と関係式 $\mathcal{R} = Z^*_{34} \hat{W}_{14} Z_{34}$ を用いて、$R$-行列とウェイル代数構造との関係を確立する。
• $(C_c(G \times G), \times_\mathcal{R})$ の $C^*$-完備化が $C_0(G) \rtimes_\tau G$ に同型であり、さらに $\mathcal{K}(L^2(G))$ に同型であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $C^*$-代数的枠組みにおける量子二重構成を、$R$-行列によるねじれを用いてその双対上に新たな代数的構造を生成する方法は何か？
• RQ2 ルの有限次元結果における $D(G)$ のねじれ双対がウェイル代数に同型であるという $C^*$-代数的同等物は何か？
• RQ3 $C^*$-代数的量子二重 $D(G)$ のねじれ双対を明示的に $C_0(G) \rtimes_\tau G$ として実現できるか？
• RQ4 一般化されたフーリエ変換は、非有限次元設定における双対ペアリングの定義とねじれ構成を可能にする上で果たす役割は何か？
• RQ5 得られるねじれ双対代数は $\mathcal{K}(L^2(G))$ に同型であるか？ また、これを作用素論的構成によって確立できるか？

主な発見

• $C^*$-代数的量子二重 $D(G)$ のねじれ双対は、$G$ 自身への左作用 $\tau$ を用いて、ウェイル代数 $C_0(G) \rtimes_\tau G$ に同型である。
• $R$-行列によって誘導される $C_c(G \times G)$ 上の変形積は、明示的に $\int a(z)b(t)a'(z^{-1}s)b'(z^{-1}t) \, dz$ として与えられ、ウェイル代数の積構造と一致する。
• $C^*$-代数 $C_0(G) \rtimes_\tau G$ はコンパクト作用素代数 $\mathcal{K}(L^2(G))$ に同型であり、ウェイル代数の $C^*$-代数的実現が確立される。
• ヒューリスティックではあるが一貫性のある記述：$B = \overline{\text{span}}\{(1 \otimes \mu^{\text{op}}_b)(\Delta(L_a))\}^\|\|$ は $\mathcal{B}(\mathcal{H} \otimes \mathcal{H})$ に属し、ねじれ双対の一般枠組みを示唆する。
• この方法は乗法的ユニタリ作用素 $\hat{W}$ と関係式 $\mathcal{R} = Z^*_{34} \hat{W}_{14} Z_{34}$ に依存しており、$R$-行列とウェイル代数構造との間の橋渡しを提供する。
• 非正則な量子群に対する一般証明は未解決のままだが、構成は例において一貫しており、$C^*$-代数的量子群における双対のねじれの一般化可能なアプローチを示唆している。