[論文レビュー] Two Dimensional Yang-Mills, Black Holes and Topological Strings

Cumrun Vafa|ArXiv.org|Jun 7, 2004

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 28被引用数 104

ひとこと要約

本稿は、特定の非コンパクトなカルビ＝ヤウ3-fold上のトポロジカル弦理論と、トーラス上の2次元U(N)ヤン・ミルズ理論との間の明確な双対性を確立し、後者の分配関数が前者のN large極限に一致することを示している。主な結果は、ブラックホールの分配関数が|Z_top|²として解釈される場合、2次元ヤン・ミルズ理論の2つのチラルなセクターがAdS₂幾何の2つの境界に対応するホログラフィー双対性から生じることである。

ABSTRACT

We show that topological strings on a class of non-compact Calabi-Yau threefolds is equivalent to two dimensional bosonic U(N) Yang-Mills on a torus. We explain this correspondence using the recent results on the equivalence of the partition function of topological strings and that of four dimensional BPS black holes, which in turn is holographically dual to the field theory on a brane. The partition function of the field theory on the brane reduces, for the ground state sector, to that of 2d Yang-Mills theory. We conjecture that the large N chiral factorization of the 2d U(N) Yang-Mills partition function reflects the existence of two boundaries of the classical AdS_2 geometry, with one chiral sector associated to each boundary; moreover the lack of factorization at finite N is related to the transformation of the vacuum state of black hole from a pure state at all orders in 1/N to a state which appears mixed at finite N (due to O(e^{-N}) effects).

研究の動機と目的

• トポロジカル弦の分配関数と4次元BPSブラックホールの分配関数の間の双対性の明確な実現を達成すること。
• トーラス上の2次元U(N)ヤン・ミルズ理論の分配関数が、特定の非コンパクトカルビ＝ヤウ3-fold上のトポロジカル弦振幅の大N展開に一致することを示すこと。
• ブレーン理論と2次元ヤン・ミルズ理論のホログラフィック双対性を通じて、ブラックホール物理学における|Z_top|²構造の出現を説明すること。
• 有限Nにおけるチラル分解の欠如を、ブラックホール真空状態における混合量子状態を示す非摂動的効果として解釈すること。

提案手法

• 局所カルビ＝ヤウ3-fold（T²上の線束の直和の全空間として構成）上のトポロジカル弦の摂動的振幅を計算するために、トポロジカルバーテックス形式主義の使用。
• T²上の線束上に定義された4次元N=4トポロジカルにねじれたヤン・ミルズ理論を次元削減により2次元トポロジカルにねじれたヤン・ミルズ理論に写像すること。
• 補助場を統合することで、2次元理論がボソン的2次元U(N)ヤン・ミルズ理論に等価であることを示し、カップリング定数をg_YM² = m g_sおよびθ_YM = θとして特定すること。
• 2次元ヤン・ミルズ理論の分配関数の大N極限を解析し、正則的および反正則的セクターへの因子分解を示し、|Z_top|²構造と一致させること。
• 幾何的エンジニアリングを用いて、作用にΦ²項を挿入することを、トーラス上の穴の周りのホロノミー挿入に対応させ、トポロジカル弦のカップリングと整合させること。
• ホログラフィー原理を適用し、2次元ヤン・ミルズ理論の2つのチラルセクターをAdS₂の2つの境界に同定することで、有限Nにおける因子分解の欠如がブラックホール真空における量子混合を示すことを結びつけること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トーラス上の2次元U(N)ヤン・ミルズ理論の分配関数は、非コンパクトカルビ＝ヤウ3-fold上のトポロジカル弦振幅とどのように関係するか？
• RQ2 ブラックホール分配関数における|Z_top|²構造の起源は何か？ そして、双対場理論からどのように生じるか？
• RQ3 なぜ2次元ヤン・ミルズ理論の大N極限はチラル因子分解を示し、有限Nにおけるその崩壊は量子重力およびブラックホール状態にどのような意味を持つのか？
• RQ4 AdS₂幾何の2つの境界は、2次元ヤン・ミルズ理論の正則的および反正則的セクターとどのように対応するか？
• RQ5 トポロジカル弦の分配関数Z_topの非摂動的意味は何か？ なぜ|Z_top|²のみが物理的に意味を持つのか？

主な発見

• トーラス上の2次元U(N)ヤン・ミルズ理論の分配関数は、T²上のO(-1) ⊕ O(-1)の全空間として構成された局所カルビ＝ヤウ3-fold上のトポロジカル弦の分配関数の大N展開と一致する。
• T²上の線束上に定義された4次元N=4トポロジカルにねじれたヤン・ミルズ理論は、補助場を統合することで2次元ボソン的U(N)ヤン・ミルズ理論に還元され、カップリング定数はg_YM² = m g_sおよびθ_YM = θとして関係づけられる。
• 2次元ヤン・ミルズ理論の分配関数の大N極限は、正則的および反正則的セクターに因子分解され、これはAdS₂幾何の2つの境界に対応する。
• 有限Nでは因子分解が成立しないため、ブラックホール真空状態は純粋ではなく、O(e^{-N})の非摂動的効果によって混合状態として現れる。
• トポロジカル弦振幅に対応する状態|Z_top⟩は有限Nでは適切に定義されない。唯一、密度行列ρ = |Z_top⟩⟨Z_top|、対応するZ_BH = Tr(ρ)が非摂動的意味を持つ。
• AdS₂のホログラフィック双対として、2つのチラルセクターが幾何の2つの漸近的境界に対応する1つの2次元ヤン・ミルズ理論が提案される。