[論文レビュー] Two-Loop Superstrings II, The Chiral Measure on Moduli Space

Eric D’Hoker, D. H. Phong|ArXiv.org|Oct 30, 2001

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 83被引用数 85

ひとこと要約

本稿は、超モジュライ空間への超モジュライの統合に起因する長年の曖昧さを解消することで、一階から出発する明確でゲージ不変な2ループ超弦チラル測度を、モジュライ空間上で導出する。新たな射影形式を用いて、無限小のゲージスライスの変更に対して不変であることを確立し、超正則な3/2形式微分、ストレステンソルの変形、および新しい「スライス $υ$」の選択を統合することで、全微分の曖昧さを含まないモジュラー不変な公式が得られる。

ABSTRACT

A detailed derivation from first principles is given for the unambiguous and slice-independent formula for the two-loop superstring chiral measure which was announced in the first paper of this series. Supergeometries are projected onto their super period matrices, and the integration over odd supermoduli is performed by integrating over the fibers of this projection. The subtleties associated with this procedure are identified. They require the inclusion of some new finite-dimensional Jacobian superdeterminants, a deformation of the worldsheet correlation functions using the stress tensor, and perhaps paradoxically, another additional gauge choice, ``slice \hatμchoice'', whose independence also has to be established. This is done using an important correspondence between superholomorphic notions with respect to a supergeometry and holomorphic notions with respect to its super period matrix. Altogether, the subtleties produce precisely the corrective terms which restore the independence of the resulting gauge-fixed formula under infinitesimal changes of gauge-slice. This independence is a key criterion for any gauge-fixed formula and hence is verified in detail.

研究の動機と目的

• 2ループ超弦振幅におけるゲージスライス依存性という、超モジュライ空間からモジュライ空間への投影が不適切に定義されていることによって生じる、長年の問題を解決すること。
• 全微分の曖昧さに悩まされる既存の手法とは異なり、2ループのゲージ不変なチラル測度の明確で一意な公式を、 genus 2 のモジュライ空間上で確立すること。
• チラル測度が無限小のゲージスライスの変更に対して不変であることを示し、超弦理論における物理的整合性のための重要な基準を満たすこと。
• 超周期行列、超正則微分、および有限次元のヤコビアンスーパードイターミナントを統合する、体系的なゲージ固定手順を構築すること。
• ストレステンソルの変形や追加のゲージ選択といった微妙な要因から生じる補正項が、正確にゲージ依存性を相殺し、不変性を回復することを確認すること。

提案手法

• 超幾何をその超周期行列へ射影し、この射影上での繊維積分により、奇数の超モジュライを統合する。
• 曖昧さを解消するための新しい「スライス $υ$」選択を導入し、無限小ゲージ変換に対して不変であることを証明する。
• 超正則な3/2形式微分と超周期行列の変化の間の双対性を用いて、コベクトル $d\hat{\Omega}_{IJ}$ と $d\zeta^{\alpha}$ を定義する。
• 超ベルトラミー微分と超周期行列の変化を関係付ける変形公式 $\delta\hat{\Omega}_{IJ} = -\frac{i}{2}\int d^{2|2}{\bf z} H(\hat{\omega}_I{\cal D}_+\hat{\omega}_J + \hat{\omega}_J{\cal D}_+\hat{\omega}_I)$ を用いる。
• ストレステンソルを用いて相関関数を変形し、ゲージ固定測度の整合性を保証する。
• 重力ビノの変化と周期行列の変化を結びつけるために、$[\mu_\alpha]$ の明示的表現を導出する：$\langle\mu_\alpha|\omega_I\omega_J\rangle = \frac{1}{8\pi}\int d^2zd^2w \chi_{\alpha\bar{z}}^+ S_\delta(z,w) \chi_{\bar{w}}^+ (\omega_J(z)\omega_I(w) + \omega_I(z)\omega_J(w))$。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2ループ超弦理論における、モジュライ空間上のチラル測度を、ゲージスライスの選択に依存しない形にどのようにして作ることができるか？
• RQ2 超弦振幅における全微分の曖昧さの原因は何か？ そして、それらを体系的に除去する方法は何か？
• RQ3 超正則な3/2形式微分と超周期行列の変化は、ゲージ固定手続きとどのように関係しているか？
• RQ4 有限次元のヤコビアンスーパードイターミナントとストレステンソルの変形を含む、整合的なゲージ固定手続きを構築できるか？
• RQ5 提案されたチラル測度は、無限小のゲージスライスの変更 $\chi_{\bar{z}}^+ = \sum_\alpha \zeta^\alpha (\chi_\alpha)_{\bar{z}}^+$ に対して不変であるか？

主な発見

• 本稿は、新しいスライス $\hat{\mu}$ 選択により曖昧さを解消し、無限小ゲージ変換に対して不変であることを証明することで、ゲージ不変な2ループ超弦チラル測度を導出した。
• 超正則な3/2形式微分とストレステンソルの変形からの補正項を含めることで、チラル測度が全微分の曖昧さを含まないことが示された。
• 超周期行列の変化の公式 $\delta\hat{\Omega}_{IJ} = -\frac{i}{2}\int d^{2|2}{\bf z} H(\hat{\omega}_I{\cal D}_+\hat{\omega}_J + \hat{\omega}_J{\cal D}_+\hat{\omega}_I)$ は、コベクトル $d\hat{\Omega}_{IJ}$ の明確な実現を与える。
• 同値類 $[\mu_\alpha]$ は、$\langle\mu_\alpha|\omega_I\omega_J\rangle = \frac{1}{8\pi}\int d^2zd^2w \chi_{\alpha\bar{z}}^+ S_\delta(z,w) \chi_{\bar{w}}^+ (\omega_J(z)\omega_I(w) + \omega_I(z)\omega_J(w))$ によって一意に定まる。この式は重力ビノのデータと周期行列のずれを結びつける。
• 本手法により、超正則構造と超周期行列上の正則構造との間の対応関係が確立され、一貫したゲージ固定が可能になった。
• 最終的なチラル測度の公式は、曖昧さがなくスライスに依存しないことが示され、超弦摂動理論における長年の問題が解決された。