[論文レビュー] Two open problems in the fixed point theory of contractive type mappings on first-countable quasimetric spaces

Mitrofan M. Choban, Vasile Berinde|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2016

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 8被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、第一可算な擬距離空間における収縮写像に関する固定点理論における2つの未解決問題を解決する。完備な擬距離空間上の収縮写像が固定点を持つことを証明し、F対称空間に関する関連問題の部分的解決を提示し、非対称な設定におけるこれらの問題の複雑さを示す4つの詳細な例を提示する。

ABSTRACT

Two open problems in the fixed point theory of quasi metric spaces posed in [Berinde, V. and Choban, M. M., {\it Generalized distances and their associate metrics. Impact on fixed point theory}, Creat. Math. Inform. {\bf 22} (2013), no. 1, 23--32] are considered. We give a complete answer to the first problem, a partial answer to the second one, and also illustrate the complexity and relevance of these problems by means of four very interesting and comprehensive examples.

研究の動機と目的

• 問題1の解決：完備な擬距離空間上の収縮写像が固定点を持つかどうか。
• 問題2の部分的解決：完備なF対称空間上の収縮写像が固定点を持つかどうか。
• 4つの包括的な例を通じて、これらの問題の複雑さと関連性を示す。
• 擬距離空間における「局所的完備性」と「標準的完備性」の違いを明確にする。
• 擬距離空間における固定点定理が、通常の距離空間からの古典的結果にどのように一般化されるかの条件を確立する。

提案手法

• 擬距離 $ d $ に対して定義される対称的関数 $ d_s(x,y) = d(x,y) + d(y,x) $ を用いて、擬距離空間を距離空間に関連付ける。
• 対称的空間 $ d_s $ に古典的なバナッハの収縮写像の原理を適用し、$ g $ が $ (X,d) $ で $ \lambda $-収縮写像であれば、$ (X,d_s) $ においても $ \lambda $-収縮写像であることを示す。
• 擬距離空間 $ (X,d) $ の局所的完備性と対称的空間 $ (X,d_s) $ の完備性が同値であるという性質を活用し、擬距離空間における固定点問題を距離空間理論に還元する。
• N-距離およびF-距離（フレシェ距離）の概念を用いて、擬距離空間における収束と極限の一意性を分析する。
• 非対称な擬距離空間における列の振る舞い、収束、固定点の挙動を説明する4つの詳細な例を構築する。
• ピカード軌道 $ O(x,\varphi) = \{ \varphi^n(x) \} $ を分析し、収縮条件のもとで、このような軌道がコーシー列であり、かつ局所的に収束することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完備な第一可算な擬距離空間上の任意の収縮写像は、固定点を持つのか？
• RQ2 完備なF対称空間上の収縮写像が固定点をもつための条件は何か？
• RQ3 擬距離空間において、局所的収束と標準的収束はどのように異なり、固定点の存在にどのような役割を果たすのか？
• RQ4 擬距離空間における完備性と局所的完備性の関係は何か？
• RQ5 擬距離空間の位相的および距離的性質は、反復列および固定点の挙動にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 問題1は完全に解決された：完備な擬距離空間上の任意の収縮写像は、一意な固定点を持つ。
• 問題2は部分的に解決された：F対称性の仮定のもとで、完備なF対称空間上の収縮写像は一意な固定点を持つ。
• 空間 $ (X,d) $ が局所的完備であることは、関連する対称的空間 $ (X,d_s) $ が完備であることと同値である。
• 局所的完備な擬距離空間において、任意の収縮写像は一意な固定点を持ち、任意のピカード軌道はその固定点に局所的に収束する。
• 提示された例は、擬距離空間においてコーシー列が一意な極限に収束しない可能性があり、固定点の存在には局所的収束が不可欠であることを示している。
• 距離 $ d $ がF-距離であるための必要十分条件は、$ d(x,z) \leq \varepsilon $ が $ d(x,y) \leq \delta $ および $ d(y,z) \leq \delta $ を満たす限り成り立つ、すなわち $ \delta $ が $ \varepsilon $ のみに依存する一様連続性条件を満たすことである。