[論文レビュー] Type and cotype of operator spaces

Hun Hee Lee|ArXiv.org|Feb 15, 2005

Advanced Operator Algebra Research参考文献 21被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、同型ヒルベルト空間の作用素空間 $H$ に対して、$S_p$-型/$S_q$-コタイプおよび型$(p,H)$/コタイプ$(q,H)$という2つの新しい作用素空間の概念を導入し、ピジエの $OH$-コタイプ2を一般化する。作用素空間版のグロテンディークの定理およびモーレーの拡張定理を確立し、型$(2,H)$およびコタイプ$(2,H^*)$をもつ作用素空間は、完全同型的に $H(I)$ に一致することを示し、これらの新しい不変量によってその構造を特徴づける。

ABSTRACT

We consider two operator space versions of type and cotype, namely $S_p$-type, $S_q$-cotype and type $(p,H)$, cotype $(q,H)$ for a homogeneous Hilbertian operator space $H$ and $1\leq p \leq 2 \leq q\leq \infty$, generalizing "$OH$-cotype 2" of G. Pisier. We compute type and cotype of some Hilbertian operator spaces and $L_p$ spaces, and we investigate the relationship between a homogeneous Hilbertian space $H$ and operator spaces with cotype $(2,H)$. As applications we consider operator space versions of generalized little Grothendieck's theorem and Maurey's extension theorem in terms of these new notions.

研究の動機と目的

• ピジエの $OH$-コタイプ2を、$S_p$-型および $S_q$-コタイプを用いてより広い作用素空間の設定に一般化すること。
• 同型ヒルベルト空間 $H$ に対して型$(p,H)$およびコタイプ$(q,H)$を定義し、既存のコタイプ理論を統合・拡張すること。
• 同型ヒルベルト空間 $H$ とコタイプ$(2,H)$ をもつ作用素空間との関係、特に $L_p$ 空間に対して考察すること。
• グロテンディークの定理およびモーレーの拡張定理の作用素空間版を確立すること。
• $S_1$ がコタイプ$(2,H)$ をもつような「最良の」$H$ を特定し、$H$ がコタイプ分類において果たす役割を明確にすること。

提案手法

• 完全 $(q,2)$-和分ノルム $\pi^{o}_{q,2}(u)$ を用いて $S_p$-型および $S_q$-コタイプを定義し、トレース双対性を用いてピジエの $OH$-コタイプ2を一般化する。
• 作用素空間 $H$ を用いたテンソルノルム $\|\cdot\|_{E\otimes_{\min}H}$ を用いて型$(p,H)$およびコタイプ$(q,H)$を定義し、ノルムの有効性のため $H$ が部分二次的である必要がある。
• 超積技術と $\ell_2(I)$ を通した因子化を用いて、無限次元問題を有限次元問題に還元する。
• 文献[20]の定理6.1を用いて、写像を $H(I)$ を通して因子化し、$H$ および $H^*$ の部分二次的および双対性の性質を活用する。
• ハーン＝バナッハの定理を用いて、有界写像 $u:G\to F$ を完全有界ノルムが制御された $\tilde{u}:E\to F$ に拡張する。
• 双対性および $\ell^*$ と $\pi^{o}_{2}$ 上のノルム推定を用いて、重要な不等式 $\gamma_H(\tilde{u}) \leq T_{2,H}(E) C_{2,H^*}(F) \|u\|$ を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 作用素空間の文脈において、Banach空間の型およびコタイプの適切な一般化は何か、特に $q>2$ の場合にどうなるか。
• RQ2 新しい $S_p$-型/$S_q$-コタイプおよび型$(p,H)$/コタイプ$(q,H)$ の概念は、$L_p$ 空間およびヒルベルト型作用素空間においてどのように振る舞うか。
• RQ3 $S_1$ がコタイプ$(2,H)$ をもつような最適な同型ヒルベルト空間 $H$ は何か、そしてこの文脈で「最良」とは何か。
• RQ4 これらの新しい不変量を用いて、作用素空間版のグロテンディークの定理およびモーレーの拡張定理を確立できるか。
• RQ5 作用素空間が型$(2,H)$ およびコタイプ$(2,H^*)$ をもつとき、どのような構造的特徴が生じるか。

主な発見

• 本稿では、型$(2,H)$ およびコタイプ$(2,H^*)$ をもつ作用素空間が、あるインデックス集合 $I$ に対して完全同型的に $H(I)$ に一致することを示し、完全な構造的特徴づけを提供する。
• $1\leq p\leq 2$ の $L_p$ 空間に対しては、$H$ の選択が型$(p,H)$ およびコタイプ$(q,H)$ の振る舞いに顕著な影響を与える。特に、$S_1$ がコタイプ$(2,H)$ をもつような最適な $H$ が同定されている。
• $S_q$-コタイプの概念により、ピジエの $OH$-コタイプ2が $q>2$ に正しく拡張可能であることが保証され、定義において $\pi^{o}_2$ の代わりに $\pi^{o}_{q,2}$ が用いられる。
• モーレーの拡張定理の作用素空間版が成立する：$E$ が型$(2,H)$ で $F$ がコタイプ$(2,H^*)$ をもつとき、部分空間 $G\subset E$ 上の写像 $u:G\to F$ は、$\gamma_H(\tilde{u}) \leq T_{2,H}(E) C_{2,H^*}(F) \|u\|$ を満たす $\tilde{u}:E\to F$ に拡張可能である。
• 完全 $(q,2)$-和分ノルム $\pi^{o}_{q,2}$ は $q>2$ のとき完全有界ノルムによって有界でないため、完全 $(q,2)$-和分写像は完全有界写像よりも厳密に弱い。
• 本稿では、$\pi^{o}_{q,2}(I_n) \lesssim n^{1/4 + 1/(2q)}$ および $\|I_n\|_{cb} \gtrsim n^{1/4 - 1/(2q)}$ を示しており、$q>2$ のとき完全 $(q,2)$-和分性が完全有界性を含まないことを示唆している。